Phase-Field Modelling of Welding and of Elasticity-Dependent Phase Transformations

Ein Phasenfeldmodell zur Simulation des Kornwachstums, während eines Elektronenstrahlschweißvorgangs, wird präsentiert. Dazu wird das makroskopische Temperaturfeld in der Schweißprobe mit den vereinfachenden Annahmen als quasi-stationär vorausgesetzt und unter der Anwendung des Superpositionsprinzips analytisch bestimmt. Der analytische Ausdruck wird mit einer Funktion in geschlossener Form approximiert, um in der Simulation des Kornwachstums als Eingabe zu fungieren. Bei der Benutzung einer temperaturabhängigen Korngrenzenmobilität in der Simulation sind die Vergröberungsprozesse in
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der Schweißnaht sowie in der Wärmeeinflusszone wiedergegeben. Bei der Erweiterung des Phasenfeldmodells um eine Nukleationsmethode werden unterschiedliche Muster der Kornmorphologie qualitativ abgebildet.

Der Hauptfokus dieser Arbeit liegt jedoch auf der quantitativen Modellierung der Phasenübergänge, bei denen elastische Verformung eine führende oder eine grundsätzliche Rolle spielt, zum Beispiel zur weiteren Beschreibung des elasto-plastischen Verhaltens. Die Theorie zur Herleitung der relevanten elastischen Felder basiert auf den mechanischen Sprungbedingungen, die an einer kohärenten Korngrenze im Gleichgewicht gelten. Es wird kurz auf die existierenden Modelle und besonders auf unsere Methode aus [1] eingegangen und die Schwächen der Modelle diskutiert. Zur Herleitung eines quantitativen Phasenfeldmodells, das die verbleibenden Defekte beseitigt, wird ein neuer Formalismus vorgestellt. Mit den homogenen Variablen innerhalb des diffusen Übergangsbereichs werden die elastischen Energien zweier benachbarter Phasen thermodynamisch konsistent interpoliert. Die resultierende Verformungsenergie wird in Abhängigkeit von den Systemgrößen hergeleitet, sodass die Cauchy’sche Spannung sowie die Konfigurationskraft unter der Anwendung des Variationsprinzips
formuliert werden. Für die numerische Implementierung des Modells wird die Voigt’sche Notation der Dehnung und der Cauchy’schen Spannung benutzt. Folglich werden alle relevanten Felder explizit für diese Schreibweise angegeben. Für elastisch isotrope Phasen ergeben sich weitere signifikante rechnerische Vereinfachungen, die für eine effiziente numerische Umsetzung unabdingbar sind. Schließlich wird eine Erweiterung des Zwei-Phasen-Modells für Multi-Phasen
präsentiert.

Das formulierte Modell wird detailliert im Abgleich mit der analytischen Lösung für das mechanische und thermodynamische Gleichgewicht verifiziert. Hierzu wird das Phasenfeldmodell um das chemische System erweitert und die Bedingungen für einen Gleichgewichtszustand explizit angegeben. Der elastische Eshelby-Einschluss in einer umgebenden elastischen Matrix ist ein ideales Referenzsystem, für welches unterschiedliche Simulationsszenarien mit einem überschaubaren rechnerischen Aufwand umgesetzt werden können. Für neun unterschiedliche Testfälle werden Simulationen mit variierenden Modellparametern durchgeführt und anhand der Simulationsergebnisse werden die Modelle beurteilt. Im Unterschied zu den Ergebnissen für das vorhergehende Modell aus [1] koinzidieren die Simulationsergebnisse für das in dieser Arbeit präsentierte Phasenfeldmodell mit den theoretischen Vorgaben.

[1] D. Schneider, O.Tschukin, A. Choudhury, M. Selzer, T. B ̈ohlke, B. Nestler. Phase-field elasticity model based on mechanical jump conditions. Computational Mechanics, 55(5):887–901, 2015.

A phase-field model for the simulation of solidification and grain growth during an electron beam welding process is presented. With the simplifying assumptions, the macroscopic temperature field inside the welding sample is assumed to be quasi-stationary. Moreover, the principle of superposition is applied to derive the macroscopic temperature distribution. To use the temperature field as input in the simulations of the grain evolution, the analytical expression of the macroscopic temperature field, which is given as an indefinite integral, is approximated with a closed-form approach. ... mehrThe extension of the phase-field model, which incorporates the nucleation model, is applied to reconstitute the results of different solidification scenarios. Furthermore, the usage of temperature-dependent grain boundary mobility allows to simulate grain coarsening in the weld as well as in the heat-affected zone. The qualitative adjustment between the numerical, theoretical and real grain structures is presented.

The quantitative incorporation of the elastic effects into the phase-field model is the main focus of this thesis. This is of interest in the applications, in which the elastic fields function as a configurational driving force for phase transformations or as an underlying field to model consequential processes like plasticity and other processes. The theory of the phase-field elasticity model is based on the mechanical jump conditions at a coherent interface of two solid phases, and a short overview of the current approaches and of our recent work [1], in particular, is given to discuss the inconsistency of the models. A novel model is presented, which is based on the similar concept but is written using an alternative formalism. With the homogeneous interfacial variables, the strain energy is
interpolated in a thermodynamically consistent manner and is reformulated in terms of the original thermodynamical and mechanical system variables. Consequently, the required quantities, such as the Cauchy stress tensor and the elastic configurational force, both are given in accordance with the variational principle. Furthermore, all elastic fields are explicitly given in the Voigt notation because it is used in the in-situ solver PACE3D for the implementation of the model. By assuming the solid phases to be elastically isotropic, further mathematical simplifications are presented; they are indispensable for an efficient computational performance. Finally, an extension of the model for multiphase systems
is demonstrated.

The newly formulated model is verified by using known analytical solutions for two-phase systems in mechanical and thermodynamic equilibrium. Doing so, the phase-field elasticity model is extended by a simple chemical model, and the equilibrium conditions are explicitly formulated. The Eshelby inclusion in an infinite surrounding matrix is an ideal setup to perform validating simulation scenarios with a clear and manageable computational effort. For nine different test cases, simulations with varying model parameters are performed in order to assess the sustainability of the presented models. The simulation results, which are based on the newly presented phase-field model for elastically inhomogeneous systems, coincide with the theoretical predictions, in contrast to the simulation results which are based on our recent model in [1].

[1] D. Schneider, O.Tschukin, A. Choudhury, M. Selzer, T. B ̈ohlke, B. Nestler.
Phase-field elasticity model based on mechanical jump conditions. Com-
putational Mechanics, 55(5):887–901, 2015.