Stochastic modelling of GNSS phase observations with focus on correlations

Parameterschätzwerte aus einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate sind fehlerfrei mit minimaler Varianz, wenn das funktionale und stochastische Model der Beobachtungen korrekt ist. Für die Positionierung mit Globalen Satellitennavigationssystemen heißt dies, dass eine verlässliche Positionierung mit realistischen Genauigkeitsmaßen nur gewährleistet ist, wenn die stochastischen Eigenschaften zwischen den Beobachtungen perfekt modelliert werden können. Bei realen Anwendungen ist die stochastische Beschreibung der GNSS-Beobachtungen unbekannt und kann nur auf Grundlage einer vorherigen Abhängigkeitsanalyse abgeschätzt werden. ... mehrInfolgedessen sind die Ergebnisse der Kleinsten-Quadrate-Schätzung nicht fehlerfrei: sowohl die Teststatistiken (Ausreißer- oder Globaltests) als auch die Schätzungen selbst sind beeinflusst.
Obwohl Korrelationen zwischen Beobachtungen empirisch nachgewiesen wurden, beruht die Beschreibung des stochastischen Modells fast ausschließlich auf einer diagonalen Varianz-Kovarianzmatrix, bei der die Korrelationen zwischen Beobachtungen nicht beachtet werden. Die Elevationsabhängigkeit der Varianz wird z.B. durch Sinus- oder Exponentialfunktionen modelliert. Darin benötigte Modellparameter müssen zusätzlich bestimmt werden. Korrelationen können durch rechnerisch anspruchsvolle Verfahren berücksichtigt werden, obwohl ihre Berücksichtigung durch eine geeignete Modellierung einfacher ist. Auf der Basis eines Modells für GPS-Phasen-Korrelationen aufgrund von Indexvariationen in der Troposphäre wird in dieser Arbeit eine physikalische Beschreibung der Korrelationsstruktur von GPS-Beobachtungen vorgeschlagen. Sie ermöglicht vollbesetzte Varianz-Kovarianzmatrizen (VCM) zu berechnen, die auf einer gewichteten Matérn-Kovarianz-Funktion aufgebaut sind. Die Korrelationsstruktur wird durch zwei Parameter bestimmt, die variiert werden können. Durch diese Variation werden die Auswirkungen der fehlerhaft angenommenen Korrelationsstrukturen auf die Kleinste Quadrate-Lösung und die Teststatistiken untersucht.
Es wird gezeigt, dass Korrelationen für eine realistische Lösung nicht vernachlässigt werden sollten. Wenn Ambiguitäten im Vorfeld der Ausgleichung oder während dieser auf eine ganze Zahl fixiert werden können, führt die Berücksichtigung von Korrelationen zu vernachlässigbar kleinen Verbesserungen für die Positionierung. Falls die Float-Ambiguität benutzt und zusammen mit der Position geschätzt wird, werden die Teststatistiken durch beispielsweise den aposteriori-Varianzfaktor und damit die Kleinste Quadrate-Lösung stark verbessert. Die Wirkung ist besonders für sehr kurze Beobachtungszeiten nachvollziehbar, wo vollbesetze VCM zusätzliche Parameter wie troposphärische Zenitlaufzeitverzögerungen auffangen, die aufgrund der kurzen Beobachtungszeit nicht mehr zuverlässig geschätzt werden können. Der Einfluss von VCM sollte unabhängig von der Sessionlänge nicht unterschätzt werden, da genauere und weniger verzerrte Teststatistiken zur Verbesserung der Wiederholbarkeit der Position und ihrer Präzision führen können. Dank eines äquivalenten Diagonalmodells kann die vollbesetzte VCM in eine Diagonalmatrix für GNSS-Positionierungsszenarien überführt werden. Dadurch wird die Rechenlast deutlich reduziert und trotzdem ein adäquates stochastisches Modell verwendet.

The best unbiased estimates of some unknown parameters have the smallest expected mean-squared errors. This condition is only fulfilled when the residuals are weighted with their true variance-covariance matrix. Applied to positioning with Global Navigation Satellite Systems (GNSS) using a Least-Squares estimator, this means that the physical relationship between observations should be known as accurately as possible. However, this condition is never met in real applications. As a consequence, the Least-Squares solution is not trustworthy, the parameter precision estimates being over-optimistic. ... mehr
Although correlations between GNSS observations were empirically evidenced, they remain disregarded and diagonal variance-covariance matrices describing only the elevation dependency of the observations are still preferred. However, besides computationally demanding procedures by means of iterative operations on observation residuals or empirical fitting with exponential functions, correlations can be physically modeled. This strategy leads to a better understanding and acceptance of the corresponding covariance function, allowing a wider use and as a consequence, a more trustworthy positioning.
Built on a covariance function for GPS phase observations due to tropospheric refractivity fluctuations, this work proposes an improved correlation function for GNSS phase observations. The elevation-weighted Matérn covariance function allows to easily compute fully populated variance-covariance matrices (VCM) that have a physical signification. The correlation structure is controlled by two model parameters: the smoothness and the correlation length. Hence, the impact on the Least-Squares solution and test statistics of wrongly assumed correlation structures up to their omission can be studied.
It is shown that correlations -if present- should not be neglected in order to obtain a realistic precision and a trustworthy solution. When ambiguities are fixed either before or with enough confidence during the final adjustment, taking correlations into account leads to negligible improvements at the estimate level compared with omitting them, particularly for long sessions of observations. However, for short sessions, the impact of a more accurate stochastic model is stronger; the test statistics being less biased allow for an improved least-squares solution. In such cases, fully populated VCM represent additional parameters, like e.g. tropospheric zenith wet delays, that cannot be estimated with enough reliability and without loss of data strength. These conclusions, based both on simulations and case studies, evidence in which cases taking correlations is relevant for an improved Least-Squares solution. Thus, in order to reduce the computational burden associated with correlations, an equivalent diagonal model is additionally proposed that reduces fully populated VCM to diagonal matrices for GNSS positioning scenarios, allowing from a GNSS user perspective a better stochastic model to be applied more easily.