Rekorde in zufälligen Permutationen - Teil 1

In diesem Video stelle ich zunächst eine Zeitreihe von bodennahen Durchschnittstemperaturen in Deutschland, gemessen jeweils über eine Dekade, vor. Diese sogenannten Gebietsmittel werden vom Deutschen Wetterdienst zur Verfügung gestellt. Unter diesen 14 Werten passiert es neunmal, dass ein Rekord auftritt, also ein gemessener Wert höher ist als alle zeitlich davor liegenden Werte. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass sich bei 14 verschiedenen Werten mindestens neun Rekorde ergeben, wenn diese Zahlen rein zufällig vertauscht werden. Da es für die Bildung von Rekorden nur auf einen Größenvergleich ankommt, betrachten wir allgemeiner rein zufällige Permutationen der Zahlen von 1 bis n und bezeichnen die zufällige Anzahl der Rekorde in einer solchen Permutation mit R_n. In diesem Video werden Erwartungswert und Varianz von R_n hergeleitet, ohne die Verteilung von R_n bestimmen zu müssen. Der Erwartungswert von R_n ist die mit H_n bezeichnete n-te harmonische Zahl, und die Varianz von R_n ist H_n, vermindert um die Summe der Quadrate der ersten n Stammbrüche. Entscheidendes Hilfsmittel hierfür ist, dass R_n die Struktur einer Indikatorsumme besitzt. ... mehrIm Vorgriff auf ein zweites Video zu diesem Thema sei gesagt, dass mindestens neun Rekorde in einer rein zufälligen Permutation von n Zahlen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,2 Promille auftreten und somit kaum auch durch den reinen Zufall erklärbar sind, wie bisweilen immer noch behauptet wird.