Rekorde in zufälligen Permutationen - Teil 2

Dieses Video setzt Teil 1 des gleichnamigen Videos über die mit R_n bezeichnete Anzahl der Rekorde in einer rein zufälligen Permutationen der Zahlen 1,2,...,n fort. Bezeichnet A_j das Ereignis, dass an der j-ten Stelle einer solchen Permutation ein Rekord auftritt, so wird zunächst die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse A_1, ..., A_n gezeigt. Zusammen mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich eine Rekursionsformel für die Verteilung von R_n, und es zeigt sich, dass diese Verteilung unmittelbar mit den Stirling-Zahlen erster Art zusammenhängt. Diese Zahlen werden üblicherweise über die Anzahlen von Zyklen in Permutationen eingeführt. Der Zusammenhang mit den Stirling-Zahlen erster Art zeigt sich auch bei der Herleitung der erzeugenden Funktion von R_n. Aus dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller folgt, dass R_n nach Standardisierung asymptotisch standardnormalverteilt ist.