Die Faltungsformel für Dichten

Sind X und Y stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit (Lebesgue-)Dichten f bzw. g, so besitzt die Summe von X und Y ebenfalls eine üblicherweise als Faltung von f und bezeichnete und als f*g geschriebene Dichte, wobei f*g(s) das Integral über die reelle Achse der Funktion f(x)g(s-x) bezüglich x ist. In diesem Video wird diese Faltungsformel ohne weitere Voraussetzungen an f und g wie etwa stückweise Stetigkeit und/oder Beschränktheit bewiesen. Der Beweis verwendet die Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes sowie den Satz von Tonelli. Das Beispiel zweier Gleichverteilungen auf dem Einheitsintervall offenbart die Namensgebung "Faltungsformel".