Die Pólya-Verteilung

Die Pólya-Verteilung wurde im Jahr 1930 von George Pólya als Urnenmodell für die Ausbreitung ansteckender Krankheiten vorgeschlagen. Gegen sei eine Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln. Es werde der Urne rein zufällig eine Kugel entnommen und deren Farbe notiert. Dann wird diese Kugel wieder in die Urne zurückgelegt, und es werden weitere c Kugeln derselben Farbe in die Urne gelegt. Nach jeweils gutem Mischen wird dieser Vorgang noch n-1 mal wiederholt, sodass insgesamt n Ziehungen vorliegen. Die Zufallsgröße X bezeichnet die Anzahl der Ziehungen, in denen eine rote Kugel aufgetreten ist. Wichtig ist, dass in diesem Modell auch c = 0 (entspricht Ziehen mit Zurücklegen) und sogar negative Werte für c möglich sind. Im letzteren Fall werden der Urne |c| Kugeln entnommen, was insbesondere den Fall c=-1, also Ziehen ohne Zurücklegen, einschließt. Bezeichnet A_j das Ereignis, dass in der j-ten Ziehung eine rote Kugel gezogen wird (j=1,...,n), so hängt die Wahrscheinlichkeit von A_j interessanterweise weder von c noch von j ab. Die Verteilung von X heißt Pólya-Verteilung. Sie enthält als Spezialfälle die Binomialverteilung und die hypergeometrische Verteilung. ... mehrIn diesem Video werden unter anderem die Verteilung von X sowie Erwartungswert und Varianz von X hergeleitet.