Erzeugende Funktionen Teil 1

In diesem Video wird zunächst die erzeugende Funktion einer Zahlenfolge definiert. Mithilfe dieses Konzepts erhält man unter anderem geschlossene Formeln für die Glieder von rekursiv definierten Folgen wie etwa die der Fibonacci-Zahlen. Für eine nichtnegative ganzzahlige Zufallsgröße X ist die (wahrscheinlichkeits-)erzeugende Funktion (der Verteilung) von X diejenige Potenreihe, deren Koeffizienten die Wahrscheinlichkeiten P(X=k), k=0,1,... sind. Die erzeugende Funktion einer Zufallsgröße legt deren Verteilung fest, und die erzeugende Funktion der Summe unabhängiger Zufallsgrößen ist das Produkt der erzeugenden Funktionen der einzelnen Summanden. Als Anwendung ergibt sich ein (weiterer) Beweis der Additionsgesetze für die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die negative Binomialverteilung.