Sammelbilderprobleme - Teil 1

Wie oft muss man einen Würfel werfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist? Wie viele Ausspielungen im Lotto 6 aus 49 müssen erfolgen, bis jede Zahl mindestens einmal Gewinnzahl gewesen ist? Wie viele Tüten mit je 5 Stickern für ein Sammelalbum mit 682 Plätzen muss man kaufen, bis das Album komplett ist? Diese Fragen haben alle einen gemeinsamen Kern: Es gibt n verschiedene Fächer, und in einem sogenannten Besetzungsvorgang fallen s Teilchen zufällig in s verschiedene Fächer. Im Fall des Würfels ist n=6 und s=1, im Fall des Lottos gelten n=49 und s=6, und im Fall des Sammelalbums ist n=682 und s=5. Die Anzahl der nötigen Besetzungsvorgänge, bis jedes Fach mindestens ein Teilchen enthält, ist eine mit X_{n,s} bezeichnete Zufallsgröße. Wir machen die Annahmen, dass Ereignisse, die sich auf verschiedene Besetzungsvorgänge beziehen, stochastisch unabhängig sind, und dass jede Auswahl von s der n Fächer bei einem Besetzungsvorgang die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Unter diesen Annahmen wird in diesem Video auf elementarem Weg der Erwartungswert von X_{n,1} hergeleitet. In einem zweiten Video geht es dann um die Verteilung von X_{n,s} für allgemeines s.