Die Urbildabbildung

Dieses Video wendet sich insbesondere an Studentinnen und Studenten der Mathematik ab dem ersten Semester. Sind M und N beliebige Mengen, und ist f eine beliebige Funktion, die auf M definiert ist und Werte in N annimmt, so ist das Urbild f^{-1}(B) einer Teilmenge B von N gleich der Menge aller x aus M mit der Eigenschaft, dass der Funktionswert f(x) zu B gehört. Auf diese Weise wird eine (nicht mit der inversen Abbildung zu f im Fall eines bijektiven f zu verwechselnden!) Funktion f^{-1} erklärt, die auf der Potenzmenge von N, d.h., dem System aller Teilmengen, von N, definiert ist und als Wertebereich die Potenzmenge von M besitzt. In diesem Video wird gezeigt, dass f^{-1} mit allen mengentheoretischen Verknüpfungen verträglich ist. Die Urbildabbildung ist unverzichtbar für viele Bereiche der Mathematik. So weden etwa die Begriffe Stetigkeit und der Messbarkeit einer Abbildung direkt mithilfe der Urbildabbildung definiert.