On direct and inverse problems related to longitudinal impact of non-uniform elastic rods

Das Ziel der Arbeit ist die Entwicklung einer Methode zur Untersuchung inverser Probleme in aufeinandertreffenden Stäben. Dabei soll die Impedanz des auftreffenden Stabs ermittelt werden, sodass eine vorgegebene Stoßkraft erzeugt wird (Impedanzproblem). Die Methode ist für viele experimentelle und praktische Anwendungen relevant. Beim Schlagbohrverfahren stellt sich beispielsweise die Frage, wie die Impedanz des auftreffenden Stabs gewählt werden kann, sodass die einlaufende Kraftwelle bezüglich der Effizienz optimiert wird.

Das Impedanzproblem wird nur von wenigen Forschern behandelt. ... mehrDer vielversprechendste Ansatz löst das inverse Problem mithilfe einer Integralgleichung. Dabei werden mehrere Näherungsmethoden angewandt, um die Impedanz des auftreffenden Stabs zu ermitteln. Im Rahmen dieser Arbeit wird eine Methode entwickelt, die auf der Idee differentieller Methoden basiert. Die Methode nutzt die Struktur des Wellenausbreitungsproblems aus. Hierfür werden die Stäbe durch Elemente mit stückweiser konstanter Impedanz diskretisiert. Zunächst wird die Impedanz des ersten Elements ermittelt, welches direkt auf die gestoßene Stange auftrifft. Alle weiteren Elemente beeinflussen die Stoßkraft zeitverzögert. Je weiter die Elemente von der Stoßfläche entfernt sind, desto später ist ihr Einfluss sichtbar. Zum Zeitpunkt des erstmaligen Einflusses des jeweiligen Elements wird die zugehörige Impedanz so gewählt, dass die vorgegebene Stoßkraft erreicht wird. Dadurch werden die diskretisierten Impedanzen des auftreffenden Stabs rekursiv bestimmt.

Für stückweise konstante Impedanzfunktionen liefert die entwickelte Methode exakte Lösungen in geschlossener Form. Des Weiteren wird eine Bedingung hergeleitet, die angibt, ob eine Lösung zu dem inversen Problem existiert. Es wird gezeigt, dass jedes zusätzliche Element, dessen Impedanz sich von der Impedanz des vorigen Elements unterscheidet, die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer Lösung verringert.

Das zugrundeliegende 1D-Modell wird experimentell validiert, indem die Simulationsergebnisse mit Messungen verglichen werden. Es wird insbesondere gezeigt, dass das Modell auch für komplexe Geometrievariationen der Stäbe gültig ist.

Impacting rods are used in many practical and experimental applications. The analysis problem of finding the time-dependent impact force for given properties of the impacting rods and known initial velocities is thoroughly studied in literature. However, very little literature has been published which addresses its inverse synthesis problem: Find the location-dependent impedance function of the impacting rod that generates a prescribed impact force.

In this contribution, a method that solves the synthesis problem is developed. The impedances of the linear elastic rods are discretized by elements of piecewise constant impedance. ... mehrThis enables making use of the analytical solution which exists for these elements. The method utilizes that each element of the unknown impactor influences the prescribed force at different time instants for the first time. At this specific time, the impedance of the corresponding element is adjusted so that the actual force matches the prescribed force. This procedure is repeated recursively until the impedances of all impactor elements are determined. For piecewise constant impedance functions, the developed method delivers exact solutions in closed-form. Moreover, a condition is derived which states if a physically meaningful solution exists for the considered element. Thus, it is known if and how long a solution of the inverse problem exists. The working principle of the method is demonstrated with several examples, including the application in percussion drilling.

Finally, the underlying 1D model is validated experimentally. To this end, a single-hit test rig is set up. The comparison of simulation versus experimental results yields good accordance both for standard and complex geometries of the impacting rods.