Die Formel vom totalen Erwartungswert

Sind $A_1,A_2, \ldots $ endlich oder unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, die alle eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$, indem man die Produkte $\mathbb{P}(A_j) \mathbb{P}(B|A_j)$ über alle j summiert. Diese Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ist ein Spezialfall der Formel vom totalen Erwartungswert, nach der der als existent vorausgesetzte Erwartungswert $\mathbb{E}(X)$ einer Zufallsgröße $X$ durch Summation der Produkte $\mathbb{P}(A_j) \mathbb{E}(X|A_j)$ erhalten werden kann. Dabei ist $\mathbb{E}(X|A_j)$ der bedingte Erwartungswert von $X$ unter der Bedingung $A_j$. Setzt man speziell $X = {\bf 1}\{B\}$, wobei ${\bf 1}\{\cdot \}$ die Indikatorfunktion bezeichnet, so ergibt sich aus der Formel vom totalen Erwartungswert die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Gilt $A_j=\{Z=z_j\}$ , wobei $Z$ ein $k$-dimensionaler Zufallsvektor ist, so bedeutet die Formel vom totalen Erwartungswert nichts anderes als iterierte Erwartungswertbildung, d.h., es gilt $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|Z))$. In diesem Video wird die Formel vom totalen Erwartungswert in einem elementaren Rahmen (diskrete Wahrscheinlichkeitsräume) hergeleitet und anhand zweier Beispiele illustriert. ... mehrDas Video setzt Vertrautheit mit elementaren bedingten Erwartungswerten voraus.