Verteilungskonvergenz 5 (Fallstricke und Lemma von Slutsky)

In diesem fünften Video zur Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen geht es um zwei Fallstricke und ein wichtiges Resultat im Umgang mit diesem Konvergenzbegriff. Im Gegensatz zur fast sicheren Konvergenz, zur stochastischen Konvergenz und zur Konvergenz im $p$-ten Mittel gilt bei der Verteilungskonvergenz nicht unbedingt, dass aus der Verteilungskonvergenz von $X_n$ gegen $X$ und $Y_n$ gegen $Y$ die Verteilungskonvergenz von $X_n+Y_n$ gegen $X +Y$ folgt. Ein zweiter Fallstrick betrifft die Verteilungkonvergenz und die Konvergenz von Erwartungswerten. Aus der Verteilungskonvergenz von $X_n$ gegen $X$ folgt nicht notwendig die Konvergenz von $\mathbb{E}(X_n)$ gegen $\mathbb{E}(X)$. Das Lemma von Slutsky besagt, dass aus der Verteilungskonvergenz von $X_n$ gegen $X$ und der stochastischen Konvergenz von $Y_n$ gegen $a$ die Verteilungskonvergenz von $X_n+Y_n$ gegen $X+a $ folgt. Außerdem konvergiert das Produkt $X_nY_n$ in Verteilung gegen $aX$.