Straffheit und relative Kompaktheit

Dieses Video wendet sich an Studierende der Mathematik, die eine Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie hören. Straffheit und relative Kompaktheit einer Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen sind wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Verteilungskonvergenz. In diesem Video geht es um Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borelschen sigma-Algebra über den reellen Zahlen und damit um reelle Zufallsvariablen, deren Verteilungen dann die Wahrscheinlichkeitsmaße sind. Zunächst wird der Begriff der Straffheit eingeführt und anhand einiger Beispiele illustriert. Danach erfolgt die Definition der relativen Kompaktheit, die eine notwendige Bedingung für Verteilungskonvergenz darstellt. Mithilfe des Auswahlsatzes von Helly stellt sich heraus, dass Straffheit und relative Kompaktheit äquivalente Begriffsbildungen sind. Diese Äquivalenz gilt nach einem berühmten Satz von Y. Prochorow in wesentlich größerer Allgemeinheit für Wahrscheinlichkeitsmaße auf der sigma-Algebra der Borelmengen in vollständigen separablen metrischen Räumen.