Charakteristische Funktionen 2: Eigenschaften

In diesem zweiten Video zu charakteristischen Funktionen werden einige Eigenschaften dieser Funktionen beleuchtet. Dazu gehört die Multiplikationsformel. Diese besagt, dass die charakterische Funktion der Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen das Produkt der charakteristischen Funktionen der einzelnen Summanden ist. Existiert das $k$-te Moment einer Zufallsvariablen $X$, so ist die charakteristische Funktion von $X$ $k$-mal stetig differenzierbar, und die $k$-te Ableitung an der Stelle $0$ ist gleich ${\rm i}^k \mathbb{E}(X^k)$, wobei ${\rm i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Anhand zweier Beispiele (Normalverteilung und stetige Gleichverteilung) wird im Video auch gezeigt, wie wichtig die Formel ist, die das Verhalten der charakteristischen Funktion unter affinen Transformationen einer Zufallsvariablen zeigt.