Charakteristische Funktionen 3: Umkehrformeln

In diesem dritten Video über charakteristische Funktionen wird gezeigt, dass die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen $X$ die Verteilung von $X$ eindeutig bestimmt. Zentrales Resultat ist hierzu eine Umkehrformel. Diese beinhaltet insbesondere eine Darstellung der Differenz $F(b) -F(a)$ mithilfe der charakteristischen Funktion von $X$. Dabei bezeichnet $F$ die Verteilungsfunktion von $X$, und $a$ sowie $b$ sind Stetigkeitsstellen von $F$, wobei $a$ kleiner als $b$ ist. Ist der Absolutbetrag der charakteristischen Funktion von $X$ absolut integrierbar, so besitzt $X$ eine stetige beschränkt Lebesgue-Dichte. Entscheidende Hilfsmittel für den Beweis sind das Dirichlet-Integral, siehe
https://doi.org/10.5445/IR/1000119429
sowie der Satz von Fubini und der Satz von der dominierten Konvergenz. Das Video schließt mit zwei Anwendungen des Eindeutigkeitssatzes.