Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy

Es sei $X_1,X_2,...$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit existierendem zweiten Moment und positiver Varianz. Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy besagt, dass in dieser Situation die Folge der Summen $S_n=X_1+...+X_n$ nach Standardisierung beim Grenzübergang $n\to \mathrm{\infty }$ in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Das auf den ersten Blick Überraschende an diesem Grenzwertsatz ist, dass die Grenzverteilung nicht von der speziellen Gestalt der Verteilung von $X_1$ abhängt. Für diesen Satz gibt es viele verschiedene Beweise. In diesem Video wird ein Beweis vorgestellt, der den Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér verwendet. Am Ende des Videos wird auch der Satz von Berry-Esseen vorgestellt, der eine Aussage über die Güte der Approximation der Verteilungsfunktion der standardisierten Zufallsvariablen $S_n$ durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung macht.