Der Transformationssatz für Lebesgue-Dichten (multivariat)

In diesem Video wird gezeigt, wie man aus der Lebesgue-Dichte eines $n$-dimensionalen Zufallsvektors $X$ die Dichte eines mithilfe einer "regulären" Transformation $T$ von $X$ entstehenden Zufallsvektors $T(X)$ erhält. Dabei wird präzisiert, was "regulär" bedeutet. Der resultierende Transformationssatz für Lebesgue-Dichten wird letztlich auf den Transformationssatz für Gebietsintegrale aus der Analysis zurückgeführt. Als Beispiel dient die Herleitung der Dichte einer allgemeinen nichtausgearteten Normalverteilung mithilfe einer affinen Transformation aus der $n$-dimensionalen Standardnormalverteilung, bei der die Komponenten des Zufallsvektors $X$ stochastisch unabhängig und je standardnormalverteilt sind. Abschließend wird aufgezeigt, wie man die Gestalt der Dichte des transformierten Zufallsvektors auch intuitiv einsehen kann.