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Die multivariate Normalverteilung

Henze, Norbert 1
1 Institut für Stochastik (STOCH), Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

Abstract:

Für jedes $d$ größer oder gleich $2$ entsteht die (nichtausgeartete) $d$-dimensionale Normalverteilung als Verteilung einer affinen Transformation $A Y + b$ eines Zufallsvektors $Y$ mit stochastisch unabhängigen und je standardnormalverteilten Komponenten. Dabei sind $A$ eine $d$-reihige invertierbare Matrix und $b$ ein Vektor im $\mathbb{R}^d$. In diesem Video wird die nichtausgeartete $d$-dimensionale Normalverteilung eines Zufallsvektors $X$ auf diese (konstruktive) Weise definiert. Die Dichte von $X$ ergibt sich mithilfe des Transformationssatzes für Lebesgue-Dichten, Für das Video sollte man die eindimensionale Normalverteilung kennen, und man sollte mit den Begriffen Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix vertraut sein. Eventuell ist es auch hilfreich, sich erst mit dem Spezialfall $d=2$ vertraut zu machen, zu dem ein separates Video existiert. Im Video wird die Existenz von $d$-dimensionalen Normalverteilungen gezeigt und verdeutlicht, dass die Menge aller nichtausgearteten $d$-dimensionalen Normalverteilungen gegenüber affinen Transformationen abgeschlossen ist. Des Weiteren wird nachgewiesen, dass die (eindimensionalen) Marginalverteilungen eines normalverteilten Zufallsvektors Normalverteilungen sind, und dass im Falle einer $d$-dimensionalen Normalverteilung Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent sind. ... mehr


Zugehörige Institution(en) am KIT Institut für Stochastik (STOCH)
Publikationstyp Audio & Video
Publikationsdatum 02.10.2023
Erstellungsdatum 29.11.2022
Sprache Deutsch
DOI 10.5445/IR/1000162734
Identifikator KITopen-ID: 1000162734
Lizenz Creative Commons Namensnennung – Nicht kommerziell – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International
Schlagwörter Stochastik, multivariate Normalverteilung, affine Transformation
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