Irrfahrten auf den ganzen Zahlen: Verweilzeiten

Eine symmetrische Irrfahrt der Länge $2n$ auf den ganzen Zahlen verwendet stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1,....,X_{2n}$, die jeweils die Werte $1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $0.5$ annehmen. Setzt man $S_0=0$ und $S_k = X_1+ \ldots + X_k$ für jedes $k \ge 1$, so kann man sich den Verlauf der Irrfahrt in einem rechtwinkligen Koordinatensystem veranschaulichen, wenn man die Punkte $(0,S_0), (1,S_1) , \ldots , (2n,S_{2n})$ miteinander verbindet. Deutet man die erste Koordinate als in den diskreten Punkten $0,1,2,\ldots, 2n$ gemessene Zeit, so geht es in diesem Video um die Zeit, die diese Irrfahrt oberhalb der horizontalen Achse verbringt. Diese sogenannte Verweilzeit hat eine U-förmige Verteilung, und diese Verteilung ist identisch mit derjenigen des Zeitpunktes der letzten Nullstelle einer solchen Irrfahrt.