Irrfahrten auf den ganzen Zahlen: Maximum

Eine symmetrische Irrfahrt der Länge $n$ auf den ganzen Zahlen verwendet stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1, \ldots ,X_{n}$, die jeweils die Werte $1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $0.5$ annehmen. Setzt man $S_0=0$ und $S_k = X_1+ \ldots + X_k$ für jedes $k \ge 1$, so kann man sich den Verlauf der Irrfahrt in einem rechtwinkligen Koordinatensystem veranschaulichen, wenn man die Punkte $(0,S_0), (1,S_1) , \ldots , (n,S_{n})$ miteinander verbindet. Deutet man die erste Koordinate als in den diskreten Punkten $0,1,2, \ldots ,n$ gemessene Zeit, so geht es in diesem Video um die Verteilung der maximalen Höhe dieser Irrfahrt, also um die Verteilung des Maximums von $S_0,S_1, \ldots , S_n$. Interessanterweise hängt diese Verteilung nur von der Verteilung von $S_n$ ab. Beim Grenzübergang n gegen unendlich konvergiert dieses Maximum nach Division durch die Wurzel aus $n$ gegen den Betrag einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen.