Irrfahrten auf den ganzen Zahlen: Vorzeichenwechsel

Es seien $X_1, X_2, \ldots $ unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils die Werte $+1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $1/2$ annehmen. Setzen wir $S_0 =0$ sowie $S_k = X_1+ \ldots + X_k$ für jedes $k \ge 1$, so entsteht eine durch die Punkte $(k,S_k)$, $k=0,1,2 \ldots $ gegebene symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen. In diesem Video wird die Verteilung der mit $C_{2n+1}$ bezeichneten Anzahl der Vorzeichenwechsel einer solchen Irrfahrt nach $2n+1$ Schritten bestimmt. Der Beweis verwendet einen engen Zusammenhang mit Leiterzeiten und dem Maximum einer Irrfahrt. Überraschenderweise ist es unabhängig von $n$ am wahrscheinlichsten, dass überhaupt kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Es wird auch die Limesverteilung von $C_{2n+1}$ beim Grenzübergang $n \to \infty$ hergeleitet.