Limit Theorems for Stochastic Differential Equations and Their Applications to Statistical Inference under Multiscale Observations

Wir untersuchen das Problem der statistischen Schätzung unter dem Aspekt der Modellfehlspezifikation, das heißt, wenn eine Diskrepanz zwischen dem datenerzeugenden Modell und dem tatsächlich interessierenden Modell besteht. Unser Ansatz ist in der mathematischen Theorie multiskaliger Systeme sowie der Homogenisierung stochastischer Differentialgleichungen verankert und wird maßgeblich durch ergodische Eigenschaften der zugrundeliegenden stochastischen Prozesse bestimmt. Die betrachtete Diskrepanz ist von einer schwachen Art: Der stochastische Prozess des datenerzeugenden Multiskalensystems konvergiert schwach, im Sinne von Wahrscheinlichkeitsmaßen, gegen den stochastischen Prozess des interessierenden homogenisierten Modells. ... mehrTrotz dieser schwachen Modellfehlspezifikation versagen viele bewährte statistische Verfahren, wenn sie auf Daten mit multiskaliger Struktur angewendet werden, und liefern keine zuverlässigen Schätzwerte für Größen des homogenisierten Modells. In dieser Arbeit nehmen wir eine neue Perspektive bezüglich klassischer Grenzwertsätze für stochastische Differentialgleichungen ein, geben zahlreiche Verallgemeinerungen an, darunter insbesondere Ergodensätze sowie zentrale Grenzwertsätze, und schlagen neuartige statistische Schätzer in parametrischen und nichtparametrischen Schätzproblemen unter schwacher Modellfehlspezifikation vor. Wir zeigen nicht nur, dass sich die Grenzwertsätze effektiv zur Herleitung verschiedener asymptotischer Eigenschaften der vorgeschlagenen Schätzer einsetzen lassen, sondern untermauern viele der theoretischen Resultate auch durch umfangreiche numerische Simulationen.

We study the problem of statistical estimation under model misspecification, that is, when there exists a discrepancy between the data-generating model and the actual model of interest. Our framework is set in the mathematical theory of multiscale systems and homogenization for stochastic differential equations and is substantially driven by ergodic properties of the underlying stochastic processes. The discrepancy is of a weak kind: the stochastic process of the data-generating model, the multiscale model, converges weakly, in the sense of probability measures, to the stochastic process of the model of interest, the homogenized model. ... mehrDespite this weak model misspecification, many commonly used statistical methodologies fail to obtain reasonable estimates for quantities of the homogenized model when they are confronted with multiscale structure in the data. In this thesis, we adopt a new perspective on classical limit theorems for stochastic differential equations, provide numerous extensions of those, including but not limited to mean ergodic theorems and central limit theorems, and propose novel statistical estimators in parametric and nonparametric estimation problems under weak misspecification. We not only demonstrate the effectiveness of the limit theorems in establishing various asymptotic properties of our proposed estimators, but we also substantiate many of the theoretical findings through extensive numerical simulations.