Error analysis of splitting methods for wave type equations

In dieser Doktorarbeit analysieren wir Splittingverfahren für zwei wellenartige Gleichungen.
Wir untersuchen das Lie- und das Strangsplitting für die kubisch nichtlineare Schrödingergleichung auf dem Ganzraum und dem Torus in bis zu drei Raumdimensionen. Wir beweisen, dass das Strangsplitting in $L^2$ mit Ordnung $1+\theta$ für Anfangsfunktionen in $H^{2+2\theta}$ mit $\theta\in (0,1)$ konvergiert und dass beide Splittingverfahren mit Ordnung eins für Anfangsfunktionen in $H^2$ konvergieren. Wir bestätigen die theoretischen Konvergenzordnungen durch numerische Experimente.
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Außerdem analysieren wir ein "Alternating direction implicit"-Zeitsplittingverfahren für die Maxwellgleichungen mit Quellen, Strömen und Leitfähigkeit. Wir zeigen, dass es effizient ist, dass es mit Ordnung zwei in $L^2$ und in einem schwachen Sinne konvergiert, und dass es die Divergenzbedingungen bis auf Ordnung eins in $L^2$ und in einem schwachen Sinne erhält. Wir bestätigen die $L^2$-Resultate durch numerische Experimente.

In this PhD thesis we analyse splitting methods for two wave type equations.
We investigate the Lie and the Strang splitting for the cubic nonlinear Schrödinger equation on the full space and on the torus in up to three spatial dimensions. We prove that the Strang splitting converges in $L^2$ with order $1+\theta$ for initial functions in $H^{2+2\theta}$ with $\theta\in (0,1)$ and that both splitting schemes converge with order one for initial functions in $H^2$. We confirm the theoretical convergence orders by numerical experiments.
Furthermore, we analyse an alternating direction implicit time splitting scheme for the Maxwell equations with sources, currents and conductivity. ... mehrWe show that it is efficient, that it converges with order two in $L^2$ and in a weak sense, and that it preserves the divergence conditions up to order one in $L^2$ and in a weak sense. We confirm the $L^2$-results by numerical experiments.