Hocheffiziente und robuste finite Elemente niederer Ansatzordnung zur Simulation großer Deformationen von Festkörpern

Schnelle und parallel einsetzbare Prozessoren ermöglichen die Berücksichtigung immer mehr relevanter Details in Finite-Elemente-Berechnungen von Anwendungen wie Crashsicherheitsanalysen oder Metallumformprozessen. Aufgrund ihrer einfachen Struktur, sind Elemente mit linearen Ansatzfunktionen gut für den Aufbau der meist schalenartigen Modelle geeignet, wobei die Details vermehrt mit Volumen- statt mit Schalenelementen abgebildet werden. Ohne entsprechende Modifikationen versteifen diese das Finite-Elemente-System und führen bei Biegung oder plastischem Fließen zu unrealistisch kleinen Verformungen, was mit der – im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehenden – Methodik inkompatibler Erweiterungen ausgeglichen werden kann. ... mehrDie Idee: gezielt die Genauigkeit verbessernde Ansatzfunktionen aus Elementen höherer Ordnung mit internen Parametern verknüpfen, ohne dabei die Anzahl der Elementknoten zu erhöhen. Allerdings kann die Berechnung dieser internen Parameter die Rechendauer der Simulation deutlich verlängern, wenn für die Schritt-für-Schritt-Lösung des simulierten Zeitintervalls eine explizite Integrationsmethode gewählt wird, die sehr kleine Schrittweiten erfordert. Dann ist das Finite-Elemente-System so oft auszuwerten, dass die Elementoperationen – die Berechnung der internen Parameter eingeschlossen – deutlich aufwendiger als die Lösung der Systemgleichungen sind, die durch konzentrierte Massen an den Elementknoten sehr effizient ist. Zur Effizienzsteigerung wird daher ein Konzept mit künstlichen Massen der internen Parameter vorgestellt, die dann – analog zu den Verschiebungen an den Elementknoten – explizit berechnet werden. Sonst sind die internen Parameter masselos und somit „statisch“ zu berechnen, was, aufgrund der dann erforderlichen, oft mit Iterationen verbundenen impliziten Berechnung, deutlich aufwendiger ist. Verschiedene Strategien mit expliziter oder impliziter Berechnung sowie einer Kombination davon werden mit bis zu 30 inkompatiblen Freiheitsgraden ausführlich untersucht.
Ein weiterer zu untersuchender Aspekt sind infolge der Inkompatibilität auftretende Kinematiken. Die inkompatiblen Massen ermöglichen eine einfache Kontrolle, bei der die verursachenden Parameter identifiziert und abgefangen werden können. Allerdings erfordert die Kontrolle numerische Tests für jedes Beispiel, was bei komplexen Problemen eine deutliche Einschränkung darstellt. Darüber hinaus werden eine inkrementelle und eine ad hoc modifizierte inkompatible Elementformulierung untersucht, die zusätzlich – ohne weitere Maßnahmen – eine Volumenbedingung erfüllen, die ähnlich zu den bekannten Orthogonalitätsbedingungen ist. Deren Auswirkung wird an einem analytischen Beispiel demonstriert und durch weitere numerische Untersuchungen gestützt.
Erste realistischere Beispiele bestätigen das Konzept der vorliegenden Arbeit.

Fast and massively parallel usable processors allow considering a growing number of details in finite element simulations of car crash analysis or metal forming to name only two applications. Owing to their simple structure low order finite elements are well suited to model the mostly shell-like structures of which the details tend to be represented by solid and so called solid shell (or thick shell) elements instead of shell elements. These elements without any modification tend to lock the finite element system and lead in the case of bending or plastic flow to unrealistic small deformations which may be alleviated using – depicting the focus of this thesis – methods with incompatible enhancements. ... mehrThe idea: associate selected higher order shape functions, id est quadratic or cubic ones, with internal parameters as not to increase the number of nodes but improve accuracy. But – from the point of an explicit dynamic simulation – the computation of these internal parameters may significantly increase the runtime of the entire simulation since very small time step sizes are common. Those imply many times the evaluation of the element operations – including the internal parameters – leading to a domination of the costs compared to solve the system equations which are in the case of concentrated masses at the finite element nodes very efficient. In order to improve efficiency a concept which introduces artificial mass terms to the internal parameters designated to compute them explicitly analogous to the displacements at the nodes of the elements. Otherwise the internal parameters do not have a mass term and are computed as constraint conditions statically which is clearly more costly since the then used implicit computation often involves iterations. Different strategies employing a full explicit, a mixed explicit/implicit and a full implicit computation are studied with various enrichments including up to 30 internal parameters.
A further key aspect to be considered are the incompatibility-related kinematic modes. Due to the available incompatible mass the kinematics are easily detected and the responsible parameters may be intercepted. Unfortunately this entails doing numerical tests for each example and thus being a considerable restriction especially for rather complex problems. In addition, an incremental and an ad hoc modified incompatible element formulation are studied, which fulfill – without further actions – a volume constraint similar to the well known orthogonality conditions. The effect of this modification is demonstrated on a simple analytical example and confirmed in further numerical examples.
Larger and more realistic examples confirm the concept presented in this thesis.