Fehleranalyse von auf trigonometrischen Integratoren basierenden Splittingverfahren für hochoszillatorische, semilineare Probleme

Die Simulation hochoszillatorischer Phänomene ist in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik von großer Bedeutung, beispielsweise in der Moleküldynamik, bei elektromagnetischen Wechselwirkungen oder in der Astrophysik. Zur mathematischen Modellierung hochoszillatorischer Phänomene werden Differentialgleichungen verwendet. Die Lösung einer solcher Gleichung lässt sich häufig nicht exakt berechnen. Klassische, explizite Approximationsverfahren wie das Störmer-Verlet-Verfahren beruhen auf der Taylorentwicklung der exakten Lösung. Die Stabilitäts- und Fehleranalyse solcher Verfahren gelingt nur, wenn das Produkt aus verwendeter
Schrittweite und größter Frequenz des Systems klein ist. Die größten Frequenzen eines hochoszillatorischen Problems sind jedoch typischerweise sehr viel größer als die gewünschte Schrittweite. Um sinnvolle Approximationen mit einem expliziten, klassischen Verfahren zu
berechnen, muss daher eine äußerst starke Schrittweiteneinschränkung in Kauf genommen werden.

Die Instabilität klassischer Integrationsverfahren motivierte die Entwicklung neuer spezieller Verfahren für die numerische Zeitintegration von hochoszillatorischen Problemen. ... mehrDabei entstand die Klasse der trigonometrischen Integratoren, auch Gautschi-artige Verfahren oder Lange-Zeitschritt-Verfahren genannt. Sie unterliegen keiner Schrittweiteneinschränkung. Erste Prototypen dieser Klasse zeigten jedoch numerische Resonanzen. Mithilfe geeigneter Filterfunktionen gelang es, diese Resonanzen zu vermeiden und es konnte Konvergenz zweiter Ordnung nachgewiesen werden. Die Fehleranalysen dieser Verfahren basieren im Wesentlichen auf der Variation-der-Konstanten-Formel. Sie sind sehr aufwendig, da die kritischen Fehlerterme herausgearbeitet und geeignet behandelt werden müssen.

Das zentrale Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, einen neuen Konvergenzbeweis basierend auf Splittingverfahren auf semilineare, hochoszillatorische Probleme zu erweitern. Die
grundlegende Idee des Beweises beruht darauf, trigonometrische Integratoren in Form eines Strang-Splittingverfahrens angewandt auf eine modifizierte Gleichung zu schreiben.
Neu ist dabei nun, Konvergenz mit Beweistechniken aus der Analyse von Splittingverfahren zu
zeigen, wie beispielsweise die iterierten Kommutatoren oder eine Variante des Fächers der Lady Windermere. Die Arbeit enthält weiterhin eine numerische Simulation des berühmten Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou-Problems. Die Testergebnisse bekräftigen die Konvergenzaussage. Eine erweiterte Anwendung auf eine forschungsrelevante Problemstellung in der Laser-Plasma-Simulation wird ebenfalls diskutiert. Hier zeigt sich die Allgemeinheit der in der vorliegenden Arbeit betrachteten Problemstellung und des verwendeten Integrationsverfahrens.