On the Coarse Geometry of Infinite Regular Translation Surfaces

Wir untersuchen eine gewisse Familie unendlicher Translationsflächen, genannt reguläre Translationsflächen. Diese sind unendliche Translationsflächen, die eine gegebene endliche Translationsfläche regulär überlagern. Jede reguläre Translationsfläche $X$ kann aus einer endlich erzeugten Gruppe $G$ und einem geeigneten euklidischen Polygon $P$ konstruiert werden. Wir präsentieren viele Beispiele von regulären Translationsflächen und studieren ihre Grobgeometrie. Insbesondere beschreiben wir, wie der Quasi-isometrie-Typ der Fläche $X$ mit dem Quasi-Isometrie-Typ der entsprechenden Gruppe $G$ zusammenhängt. ... mehrWir beweisen, dass in vielen Fällen die reguläre Translationsfläche $X$ quasi-isometrisch zu einer Quotientengruppe von $G$ ist. Allerdings gibt es auch Beispiele von Flächen, die nicht quasi-isometrisch zu einer endlich erzeugten Gruppe sind. Wir beweisen ein allgemeines Resultat, nach welchem jede reguläre Translationsfläche $X$ zu einem Cayleygraphen von $G$ bezüglich eines unendlichen Erzeugendensystems quasi-isometrisch ist.

We study a certain family of infinite translation surfaces, called regular translation surfaces. These are infinite translation surfaces which regularly cover a given finite translation surface. Each regular translation surface $X$ can be constructed from a finitely generated group $G$ and a suitable Euclidean polygon $P$.
We present many examples of regular translation surfaces and study their coarse geometry. In particular, we establish a connection between the quasi-isometry type of the surface $X$ and the quasi-isometry type of the corresponding group $G$. We prove that in many cases a regular translation surfaces is quasi-isometric to a quotient of $G$. ... mehrHowever, there are examples of surfaces which are not quasi-isometric to any finitely generated group. As a general result we prove that any regular translation surface $X$ is quasi-isometric to a Cayley graph of $G$ with respect to an infinite generating set of $G$.