Abstract:
Zur Verbesserung von Trennprozessen bezüglich der Effizienz und Selektivität ist es notwendig, das Wissen über das Verhalten von Partikeln in Strömungen zu erweitern. Dies ist insbesondere der Fall für Partikel im Größenbereich um $1\textrm{µm}$, da hier weder die Diffusion, noch Trägheitseffekte die Dynamik dominant bestimmen. Weiterhin sind Abläufe in der Größenordnung eines industrierelevanten Prozesses abzubilden, während Effekte, welche sich auf der um mehrere Größenordnungen kleinere Skala eines Partikeldurchmessers abspielen, die Effizienz des gesamten Verfahrens beeinflussen können. ... mehrIn dieser Arbeit wird die Abhängigkeit des Strömungsverhaltens der Partikel von der Form untersucht, wozu die wirkende Strömungswiderstandskraft simulativ betrachtet wird. Es werden Korrelationen bezüglich des Widerstandkoeffizienten und der terminalen Sinkgeschwindigkeit vorgestellt. Diese beschreiben die Abhängigkeit von mehreren Formparametern und der Reynoldszahl, jeweils für einen eingeschränkten Bereich. Darüber hinaus wird ein allgemeines Vorgehen zur Erstellung solcher Korrelationen basierend auf gegebenen Daten vorgestellt.
Für die Simulationen wird die homogenized lattice Boltzmann Methode verwendet, welche im Rahmen dieser Arbeit erweitert wird, um beliebig geformte Partikel abbilden zu können. Die Methode wird weiterhin hinsichtlich der benötigten Rechenleistung und Genauigkeit optimiert, wobei für letztere der Einfluss verschiedener Ansätze für die Anwendung der Kräfte und den Impulsaustausch untersucht wird. Der erstellte Code ist in das C++-Paket OpenLB integriert, womit alle hier präsentierten Simulationen durchgeführt werden. Da es als Open-Source-Paket veröffentlicht wird, ist die Implementierung der angewandten Simulationsmethode damit frei verfügbar.
Zunächst wird die homogenized lattice Boltzman Methode, mit der bisher nur Objekte simuliert werden konnten, für die analytische Beschreibungen der Oberfläche, des Volumens und des Trägheitsmoments verfügbar sind, für beliebige Formen erweitert. Durch die automatisierte Erstellung einer Voxel-Darstellung der Partikel können diese Werte für jede beliebige Form berechnet werden, z. B. unter Verwendung des Satzes von Steiner. Die Funktionalität dieser Erweiterung wird dann anhand der Simulation der Sedimentation von $16$ Kalksteinpartikeln mit Geometrien, welche aus Computertomographie-Scans erhalten wurden, demonstriert. Führt man dieselbe Simulation mit volumenäquivalenten Kugeln durch, zeigt sich, dass die Kalksteinpartikel um $28,\!75\%$ langsamer absinken.
Die Rechenleistung der Methode wird weiter verbessert, indem die Berechnung des ausgetauschten Impulses parallelisiert und der benötigte Speicher reduziert wird. Dies führt zu einem Code, der laut Performancestudie zu $99,\!5\%$ parallelisierbar ist. Unter Berücksichtigung von experimentellen Daten sedimentierender Kugeln für Reynoldszahlen $\textrm{Re}=1,\!5; 4,\!1; 11,\!6$ und $32,\!2$, welche mittels Particle Image Velocimetry erhalten wurden, wird eine Vergleichsstudie durchgeführt. Dabei werden verschiedene Kombinationen von Ansätzen zur Anwendung der Kraft auf die Fluidströmung und zur Berechnung des ausgetauschten Impulses untersucht, wobei auch ein neuer Ansatz, der momentum loss Algorithmus, vorgestellt wird. Dieser ist der Studie zufolge für kleine $\textrm{Re}$ und vergleichsweise geringe Auflösungen zu bevorzugen. Anhand einer Konvergenzstudie wird die insgesamt beste Methodenkombination ausgewählt, welche über alle getesteten $\textrm{Re}$ und Gitterauflösungen hinweg einen durchschnittlichen Fehler von etwa $5,\!5\%$ aufweist. Zur weiteren Validierung wird das Sedimentieren einer einzelnen Kugel genauer untersucht und mit Korrelationen aus der Literatur verglichen. Die beste Übereinstimmung wird mit der Formel von Schiller und Naumann erzielt, die mittlere Abweichung für Reynoldszahlen zwischen $\textrm{Re}=0,\!24$ und $\textrm{Re}=948,\!67$ beträgt dabei $7,\!78\%$. Der Fehler wird hinsichtlich der maximal auftretenden lattice velocity quantifiziert, was Richtwerte für die Parameterwahl, auch für zukünftigen Studien, liefert. Weiterhin wird die Eignung der Methode zur Untersuchung des Segré--Silberberg Effekts demonstriert. Schließlich wird die Methode für Schwarmsedimentation unter Berücksichtigung von Feststoffvolumenanteilen zwischen $5\%$ und $25\%$ validiert. Bei der Durchführung von Simulationen für $\textrm{Re}=0,\!53; 5,\!29$ und $49,\!46$ beträgt die durchschnittliche Abweichung zu Ergebnissen in der Literatur $8,\!07\%$, wobei die größte Abweichung für die höchste Reynoldszahl erhalten wird.
Der Zusammenhang zwischen Partikelform und Sinkverhalten wird anhand der Simulation von Super-Ellipsoiden untersucht. Um die Form zu quantifizieren, werden diverse Formparameter wie die Sphärizität, Rundheit, Konvexität, der Corey-Formfaktor und die Hofmann-Formentropie eingesetzt. Nach der Identifizierung der relevantesten Parameter mit statistischen Methoden werden Korrelationen bezüglich des Widerstandskoeffizienten und der terminalen Sinkgeschwindigkeit berechnet. Der Ansatz basiert auf einer multiplen linearen Regression für ein aus den ausgewählten Parametern konstruiertes Polynom, das auch Interaktionsterme enthält. Die Multikolinearität wird dabei unter Anderem über den Varianzinflationsfaktor betrachtet, um sie durch Eliminieren einzelner Terme des Polynoms zu reduzieren. Verglichen mit gängigen Modellen aus der Literatur sinkt der durchschnittliche Fehler der neuen Korrelation bezüglich des Widerstandskoeffizienten auf ein Sechstel, bei Anwendung auf den in dieser Studie verwendeten Datensatz. Bezüglich der terminalen Sinkgeschwindigkeit ist der Fehler um den Faktor Fünf kleiner im Vergleich zu bisher verfügbaren Modellen. Um overfitting zu vermeiden, werden die Daten in Trainings- und Testdaten aufgeteilt. Das vorgestellte Verfahren zur Konstruktion des Polynoms und zum Erhalt der Korrelation ist allgemein auf andere Datensätze anwendbar und kann daher verwendet werden, um weitere Korrelationen, spezifisch für ein gewünschtes Partikelkollektiv, zu erstellen.
Somit sind die in dieser Arbeit vorgestellten Untersuchungen wertvoll für die Auslegung von Prozessmaschinen, da die neu gefundenen Korrelationen in Simulationen auf der Prozessskala verwendet werden können. Die Methoden für solche Simulationen, unter Verwendung eines Euler—Euler-Ansatzes für die Partikel und der volumengemittelten Navier—Stokes-Gleichungen, werden in begleitenden Publikationen zu dieser Arbeit vorgestellt. Zusätzlich erlauben die hier vorgestellten Simulationsmethoden, zusammen mit dem beschriebenen Verfahren zur Gewinnung neuer Korrelationen, den gesamten Prozess weiter zu automatisieren. Daraus ist ein Verfahren ableitbar, welches automatisiert Vorhersagen über die Abscheideleistung erstellt, die speziell auf ein gewünschtes Partikelkollektiv und einen Prozessaufbau zugeschnitten sind.
Abstract (englisch):
For an improvement of separation processes regarding efficiency and selectivity, extending the knowledge of particle dynamics is crucial. This especially concerns the challenging case of particle sizes in the range around $1\textrm{µm}$, as neither diffusion nor inertial effects are dominant. While the particle flow has to be depicted on the scale of the process machine, effects on a scale several orders of magnitude smaller, e.g., related to the particle shape, can affect the overall separation results. In this thesis the influence of the particle's shape on its flow behaviour, more specifically the experienced drag, is studied via simulations. ... mehrPresented is a correlation regarding the drag coefficient and terminal settling velocity, based on various particle shape parameters, for a confined range of Reynolds numbers and shape parameters. Furthermore, a general procedure is proposed to obtain such correlations from given data, along with simulation schemes to obtain the latter.
The simulations are performed using the homogenized lattice Boltzmann method, which is extended to depict arbitrary particle shapes in this thesis. It is also improved firstly regarding accuracy by updating the schemes for the calculation of exchanged momentum and application of forces and secondly regarding computational performance. Furthermore, all implementations and simulations are embedded in the C++ package OpenLB. As it is open-source published, the implementation of the finally applied simulation method is freely available.
As a first step, the homogenized lattice Boltzmann method, which could previously only be used for the simulation of objects with available analytical descriptions of the surface, volume and moment of inertia, is extended for arbitrary shapes. Applying the automated creation of a voxel representation of the particle, these values can be calculated for any shape, e.g., utilizing the parallel axis theorem. The new capability is then demonstrated simulating the settling of $16$ limestone particles with geometries obtained from computer tomography scans. Comparing to the same simulation conducted with spheres of equal volume, the former are found to settle $28.75\%$ slower.
The computational performance of the method is further improved by parallelizing the calculation of exchanged momentum and reducing the required memory. This leads to a code which is $99.5\%$ parallelizable according to performance studies. Considering experimental data of a settling sphere for Reynolds numbers $\textrm{Re}=1.5, 4.1, 11.6$ and $32.2$, obtained with particle imaging velocimetry, a comparative study is performed. Various combinations of schemes applying the force to the fluid flow and calculating the momentum are investigated, also introducing a new scheme, denoted as momentum loss algorithm, for the latter. According to this study, the new approach is to favor for small $\textrm{Re}$ and comparably low resolutions. Performing a convergence study as well, the overall best combination of methods is selected, yielding an average error of about $5.5\%$ across the tested $\textrm{Re}$ and grid resolutions. For additional validation, the settling of a single sphere is further investigated and compared to correlations from literature. The best accordance is found with the correlation by Schiller and Naumann yielding an average deviation of $7.78\%$ across the range from $\textrm{Re}=0.24$ up to $\textrm{Re}=948.67$. The error is quantified regarding the maximum occurring lattice velocity, which serves as a guideline for parameter selection, also in future studies. Besides, the capability of the method to depict the tubular pinch effect is also demonstrated. Finally, the method is validated for the case of hindered settling, considering solid volume fractions between $5\%$ and $25\%$. Conducting simulations for $\textrm{Re}=0.53, 5.29$ and $49.46$, the average deviation to results in literature is found to be only $8.07\%$, with the largest deviation obtained for the highest Reynolds number.
The link between particle shape and settling behaviour is studied via simulations of superellipsoids. To quantify the shape, a large set of shape descriptors like the sphericity, roundness, convexity, the Corey shape factor and the Hofmann shape entropy is used. Identifying the most relevant parameters with statistical methods, correlations regarding the drag coefficient and terminal settling velocity are constructed. The approach is based on a multiple linear regression for a polynomial constructed from the identified parameters also containing interaction terms. The multicolinearity is monitored by assessing the variance inflation factor and additional measures to control it by dropping the respective terms in the polynomial. The average error of the found drag correlation is less than a sixth of the one obtained applying correlations available in literature to the current data set. Similarly, the average error regarding the terminal settling velocity is found to be less than a fifth compared to available correlations. To prevent overfitting, the data are split in a training and a test set. The presented procedure to construct the polynomial and obtain the correlation is generally applicable to other data sets and can therefore be used to derive further correlations which might be specific to a desired set of particles.
Thereby the studies presented in this thesis aid in the design of process machines, as the newly found correlations can be used in simulations on the process scale. The tools for such simulations applying an Euler—Euler approach for the particles and the volume-averaged Navier—Stokes equations are given in publications, concomitant to this thesis. The simulation methods presented in this work, together with the described procedure to obtain new correlations, additionally allow to further automate the whole process. This may lead to a process which automatically creates predictions regarding the separation efficiency, specifically tailored for a desired particle collective and process setup.
