Inverse dynamics of underactuated flexible mechanical systems governed by quasi-linear hyperbolic partial differential equations

Diese Arbeit befasst sich mit der inversen Dynamik unteraktuierter, flexibler, mechanischer Systeme, welche durch quasi-lineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können. Diese Gleichungnen, sind zeitlich veränderlichen Dirichlet-Randbedingungen unterworfen, welche durch unbekannte, räumlich disjunkte, also nicht kollokierte Neumann-Randbedingungen erzwungen werden. Die zugrundeliegenden Gleichungen werden zunächst abstrakt hergeleitet, bevor verschiedene mechanische Systeme vorgestellt werden können, die mit der eingangs postulierten Formulierung übereinstimmen. ... mehrHierzu werden geometrisch exakte Theorien hergeleitet, welche in der Lage sind große Bewegungen schlanker Strukturen wie Seile und Balken, aber auch ganz allgemein, dreidimensionaler Festkörper zu beschreiben.

In der Regel werden Anfangs-Randwertprobleme, die in der nichtlinearen Strukturdynamik auftreten, durch Anwendung einer sequentiellen Diskretisierung in Raum und Zeit gelöst. Diese Verfahren basieren für gewöhnlich auf einer räumlichen Diskretisierung mit finiten Elementen, gefolgt von einer geeigneten zeitlichen Diskretisierung, welche meist auf finiten Differenzen beruht. Ein kurzer Überblick über derartige sequentielle Integrationsverfahren für das vorliegende Anfangs-Randwertproblem wird zunächst anhand der direkten Formulierung des Problems gegeben werden. D.h. es wird zunächst das reine Neumann-Randproblem betrachtet, bevor anschließend ganz allgemein, verschiedene Möglichkeiten zur Einbindung etwaiger Dirichlet-Randbedingungen diskutiert werden. Darauf aufbauend wird das Problem der inversen Dynamik im Kontext räumlich diskreter mechanischer Systeme, welche rheonom-holonomen Servo-Bindungen unterliegen, eingeführt. Eine ausführliche Untersuchung dieser Art von gebundenen Systemen soll die grundlegenden Unterschiede zwischen Servo-Bindungen und klassischen Kontakt-Bindungen herausarbeiten. Die daraus resultierenden Folgen für die Entwicklung geeigneter numerisch stabiler Integrationsverfahren können dabei ebenfalls angesprochen werden, bevor zahlreich ausgewählte Beispiele vorgestellt werden können.

Aufgrund der sehr eingeschränkten Anwendbarkeit der sequentiellen Lösung der inversen Dynamik in Raum und Zeit, wird eine eingehende Analyse des vorliegenden Anfangs-Randwertproblems unternommen. Vor allem durch die Freilegung der hyperbolischen Struktur der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen werden sich weitere Einblicke in das vorliegende Problem erhofft. Die Erforschung der daraus resultierenden Mechanismen der Wellenausbreitung in kontinuierlichen Strukturen öffnet die Tür zur Entwicklung numerisch stabiler Integrationsverfahren für die inverse Dynamik. So kann unter anderem eine Methode vorgestellt werden, die auf der Integration der partiellen Differentialgleichungen entlang charakteristischer Mannigfaltigkeiten beruht. Dies regt zu der Entwicklung neuartiger Galerkinverfahren an, die ebenfalls in dieser Arbeit vorgestellt werden können.

Diese neu entwickelten Methoden können anschlie\ss end auf die Steuerung verschiedener mechanischer Systeme angewendet werden. Darüber hinaus können die neuartigen Integrationsverfahren auch auf flexible Mehrkörpersysteme übertragen werden. Angeführt seien hier beispielsweise die kooperative Steuerung eines an mehreren flexiblen Seilen aufgehängten starren Körpers oder die Steuerung des Endeffektors eines flexiblen mehrgliedrigen Schwenkarms.

Ausgewählte numerische Beispiele verdeutlichen die Relevanz der hier vorgeschlagenen, in Raum und Zeit simultanen Integration des vorliegenden Anfangs-Randwertproblems.

This work is about the inverse dynamics of underactuated flexible mechanical systems governed by quasi-linear hyperbolic partial differential equations subjected to time-varying Dirichlet boundary conditions that are enforced by unknown, spatially disjunct, hence non-collocated Neumann boundary conditions. The governing equations are first derived abstractly in more detail before various mechanical systems are presented aligning with the postulated formulation. Therefore, geometrically exact theories, governing the large motion of slender structures such as strings and beams but also general three-dimensional continua, will be derived. ... mehrCommonly, initial boundary value problems that occur in non-linear structural dynamics are solved by applying sequential space-time discretization methods. This approach is therefore typically based on a discretization in space by means of finite elements, followed by an appropriate discretization in time mostly based on finite differences. A brief survey of this type of sequential space-time integration methods for the initial boundary value problem at hand, is given first in context of the direct dynamics problem. I.e. the pure Neumann boundary problem will be considered first, before different possibilities of imposing Dirichlet boundary conditions in general, will be discussed afterwards. Based on this, the inverse dynamics problem will be introduced in context of spatially discrete mechanical systems subjected to rheonomic holonomic servo-constraints. A detailed analysis of this type of constrained systems aims to elaborate the fundamental distinctions of servo-constraints to classical contact-constraints. Consequences thereof, regarding the construction of numerically stable integration methods, will be addressed likewise before numerous selected examples will be given.

Due to the highly restrictive applicability of solving the inverse dynamics problem sequentially in space and time, an in-depth analysis of the underlying initial boundary value problem is being pursued. Especially by exposing the underlying hyperbolic structure of the governing partial differential equations, further insights into the problem at hand are anticipated. Enlighting the resulting mechanisms of wave propagation within continuous structures will pave the way to a numerically stable integration of the inverse dynamics problem. Thus, e.g. a method that is based on the integration of partial differential equations along characteristic manifolds is presented. This motivates the development of novel Galerkin methods that can be presented in this work as well.

These newly established methods will be applied to the feed-forward control problem of various mechanical systems. In addition to that, the novel simultaneous space-time integration methods are adopted to flexible multibody systems such as e.g. the cooperative control of a rigid body through several flexible strings or the control of the end-effector of a rotational arm consisting of rigid and flexible arms.

Selected numerical examples are given underlining the relevance of the proposed simultaneous space-time integration.