On the treatment of finite rotations in the discretization of a geometrically exact beam model

Die erste Formulierung des geometrisch exakten Balkens wurde 1985 von Simo veröffentlicht. Trotz
seiner langen Geschichte ist die korrekte Implementierung dieses Modells in der Finite Element Methode
(FEM) und der Isogeometrischen Analyse (IGA) immer noch eine Herausforderung. Die Kinematik des
geometrisch exakten Balkens erfordert es die Orientierung jedes Querschnittes mittels finiter Rotationen
zu beschreiben. Dabei bilden finite Rotationen im dreidimensionalen Raum die komplexe mathematische
Struktur einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit. Um ein Modell zu erhalten, welches unabhängig vom Bezugssystem und Belastungspfad ist, sowie ein optimales Konvergenzverhalten in FEM und IGA erreicht, muss bei der Diskretisierung von Variablen auf solchen nichtlinearen Mannigfaltigkeiten mit großer Sorgfalt vorgegangen werden.
... mehr
Diese Arbeit behandelt verschiedene Diskretisierungen finiter Rotationen im Rahmen der FEM und
IGA, wobei der Fokus auf zwei mögliche Parametrisierungen finiter Rotationen liegt: Direktoren
und Einheitsquaternionen. Neben einer klassischen, additiven Diskretisierung werden ’geodesic’ und
’projection-based’ finite Elemente eingeführt und für beide Parametrisierungen im Detail diskutiert.
Als zusätzliche Möglichkeit für die FEM werden Elemente mit Formfunktionen basierend auf den
Gauss-Lobatto Punkten eingeführt.

Das numerische Verhalten der klassischen Diskretisierung wird zusammen mit einer Direktoren-
formulierung des geometrisch exakten Balkens für FEM als auch IGA betrachtet. Zwar führt diese
Formulierung auf ein Modell, welches unabhängig vom Bezugssystem und Belastungspfad ist, jedoch
zeigt eine Analyse des Konvergenzverhaltens, dass die klassische Diskretisierung nicht zu einer opti-
malen Konvergenzordnung bei höheren Ansatzordnungen führt, weder in der FEM noch in der IGA.
Im Gegensatz dazu ergeben Formfunktionen basierend auf den Gauss-Lobatto Punkten die erwartete
Konvergenzordnung. Zusätzlich wird das Verhalten der Direktorformulierung mit dynamischen Bei-
spielen untersucht, wobei ein strukturerhaltender Integrator verwendet wird, welcher Energie, Impuls
und Drehimpuls erhält. Dabei erzielt das Modell hervorragende Ergebnisse.

In einer zweiten Anwendung wird der geometrisch exakte Balken mittels Einheitsquaternionen for-
muliert. Um ein optimales Konvergenzverhalten zu erreichen, werden hierbei ’projection-based’ finite
Elemente sowohl für FEM als auch für IGA verwendet. Es wird gezeigt, dass dieser Ansatz wiederum
auf eine Formulierung führt, welche System- und Pfadunabhängig ist. Dabei führt der ’projection-based’
Elementansatz zu einem optimalen Konvergenzverhalten, auch bei Formfunktionen höherer Ordnung.
Im Gegensatz dazu führt der klassische Diskretisierungsansatz, nicht zu optimalen Konvergenzordnun-
gen für Elemente höherer Ordnung. Aufgrund des relativ einfachen ’projection-based’ Ansatzes, der
mit Einheitsquaternionen möglich ist, erweisen sich Einheitsquaternionen als ausgezeichnete Wahl für
Anwendungen der FEM und IGA in der Statik.

The first formulation of the geometrically exact beam was published in 1985 by Simo. Despite its long
history, the correct implementation of the model in the Finite Element Method (FEM) and Isogeometric
Analysis (IGA) remains a challenging task. The kinematics of the geometrically exact beam require
describing the orientation of each of its cross-sections using finite rotations. Finite rotations in three
dimensions form the complex mathematical structure of a non-linear manifold. To obtain a path-
independent and frame-indifferent model as well as optimal convergence behavior in FEM and IGA great attention must be paid when discretizing variables lying on a manifold.
... mehr
This work discusses various discretizations of finite rotations for FEM and IGA, focusing on two
possible parametrizations of finite rotations: directors and unit quaternions. Besides a classical, additive
discretization, geodesic, and projection-based finite elements are introduced and discussed in detail for
both parametrizations. As an additional option for the FEM, elements with shape functions based on
Gauss-Lobatto points are introduced.

The numerical behavior of the classical discretization is analyzed alongside a director formulation of the
geometrically exact beam using the classical discretization approach for both FEM and IGA. Even though
this approach results in a frame-indifferent and path-independent model, the convergence is not optimal
for higher-order shape functions for either FEM or IGA. In contrast to this, shape functions based on
Gauss-Lobatto points yield the expected convergence order. Additionally, the director formulation is
tested on dynamic examples using a structure-conserving time integrator that conserves energy, linear
momentum, and angular momentum, yielding excellent results.

In a second application, the geometrically exact beam is formulated within a unit quaternion framework.
To achieve optimal convergence behavior, a projection-based approach is employed for both FEM and
IGA. Again this formulation is shown to be frame-indifferent and path-independent. The projection-
based approach leads to optimal convergence behavior even for higher-order shape functions, unlike
the classical discretization approach, which again fails to produce optimal results for higher-order
elements. Due to the relatively simple projection-based approach possible with unit quaternions, unit
quaternions prove to be an excellent choice in static applications for FEM and IGA.