Analysis of constitutive relations in the phase field approach to brittle fracture and its application to Hertzian indentation fracture

Die Phasenfeldmethode zur Beschreibung von komplexen statischen und dynamischen Bruchvorgängen hat stetig an Bedeutung gewonnen, einschließlich der Bildung von Rissen und der Bestimmung unbekannter Risspfade. Die glatte Approximation von Rissen durch die Einführung eines zusätzlichen skalarwertigen Feldes, des Phasenfeldes, und die sukzessive Reduktion der Materialsteifigkeit ohne die Notwendigkeit, die genaue Position des Risses zu verfolgen, sind die Hauptmerkmale der Methode, die zu netzunabhängigen Lösungen führen soll. Die derzeitigen Ansätze weisen jedoch zwangsläufig einige Einschränkungen auf, die nicht offensichtlich zu sein scheinen und daher in vielen Untersuchungen vernachlässigt werden. ... mehrDie in dieser Dissertationsschrift vorgestellten Untersuchungen konzentrieren sich auf die Analyse der Methode und erörtern spezifische konstitutive Ansätze, die im Zusammenhang mit der Methode stehen. Zum Beispiel erfasst die Annahme einer isotropen Degradation der Steifigkeit durch den skalaren Phasenfeldparameter nicht die durch einen makroskopischen Riss erzeugte Anisotropie und schränkt den Anwendungsbereich stark ein. Die weit verbreiteten Zug-Druck-Zerlegungen verletzen die spezifischen Randbedingungen an Rissen, wie z.B., dass Oberflächen frei von Zugspannungen sein müssen, und führen darüber hinaus wieder eine Abhängigkeit von der Ausrichtung des Netzes ein. Um Rissrandbedingungen zu erfüllen muss die Phasenfeldmethode modifiziert werden, indem die Orientierung des Risses berücksichtigt wird.

Als zweites Thema wird das Problem des Hertz'schen Kegelrisses in spröden Festkörpern mit zwei verschiedenen Ansätzen betrachtet. Zunächst wird das Konzept der finiten Bruchmechanik angewendet, um die Rissbildung von einer ursprünglich defektfreien Oberfläche aus zu untersuchen. Die Methode geht von der spontanen Bildung eines kleinen, aber endlich langen Risses aus und verwendet sowohl ein spannungsbasiertes als auch ein energetisches Bruchkriterium. Bei der Bewertung des energetischen Teils des Bruchkriteriums werden ein semi-analytischer und ein numerischer Ansatz verglichen, wobei letzterer auf Simulationen mit einer gewöhnlichen Finite-Elemente-Methode basiert. Die Funktionsweise des hybriden (zweiteiligen) Kriteriums bei der Anwendung auf den Kegelriss wird analysiert, darüber hinaus wird dessen Vorhersagefähigkeit durch den Vergleich mit experimentellen Ergebnissen aufgezeigt. Anschließend wird die Entstehung und das anschließende Wachstum von Rissen, welche durch Eindruckbelastung auf spröde Festkörper verursacht werden, mit Hilfe der Phasenfeldmethode ganzheitlich untersucht. Während diese Methode auf den ersten Blick ein vielversprechendes Werkzeug für die Behandlung von Problemen wie dem vorliegenden zu sein scheint, einschließlich der Simulation der Rissbildung bei fehlendem Anfangsriss, offenbart die tatsächliche Anwendung eine Reihe von kritischen Punkten. Die Unzulänglichkeiten gängiger Phasenfeldmodelle, welche auf einer variationellen Struktur beruhen, zur Simulation von Bruchvorgängen werden veranschaulicht und geeignete Modifikationen diskutiert, die der Methode -- zumindest bis zu einem gewissen Grad -- die Simulation von Kegelrissen erlauben. Besonders hervorgehoben wird die Bedeutung der Zugfestigkeit und der Bruchzähigkeit des Materials als unabhängige physikalische Größen, die für die quantitative Beschreibung der Rissbildung maßgeblich sind. Die numerischen Vorhersagen werden mit Ergebnissen der finiten Bruchmechanik sowie mit experimentellen Erkenntnissen aus der Literatur verglichen.

Phase field approaches to fracture have steadily gained popularity to compute complex crack patterns in statics and dynamics, including the formation of cracks and determination of unknown crack paths. The smooth approximation of cracks by introducing an additional scalar field, the phase field, and gradual degradation of material stiffness without the need to track the exact position of the crack are key features of the method, which is said to result in mesh independent solutions. However, current approaches inevitably exhibit some limitations which do not seem to be obvious and are therefore neglected in many investigations. ... mehrThe research presented in this dissertation focuses on the analysis of the approach and discusses specific constitutive choices along with the approach. For example, the assumption of isotropic stiffness degradation by the scalar phase field parameter does not capture the anisotropy introduced by a macroscopic crack and severely restricts the scope of application. Widely used tension-compression splits violate the specific conditions at cracks like traction-free crack surfaces and, in addition, reintroduce mesh orientation dependency. In order to satisfy crack boundary conditions the phase field approach has to be modified by taking the orientation of the crack into account.

As a second subject, the problem of Hertzian indentation fracture in brittle solids is analyzed. First, the concept of finite fracture mechanics is applied to investigate crack formation from an initially defect-free surface. The method assumes the spontaneous formation of a small, yet finite, crack and employs a stress-based as well as an energetic criterion. In evaluating the energetic part of the fracture criterion a semi-analytical and a numerical approach, the latter involving standard finite element simulations, are compared. The functionality of the hybrid (two-part) criterion in application to indentation fracture is analyzed in principle and, moreover, its predictive capabilities are illustrated by comparison with experimental findings. Then, the formation and subsequent growth of cracks in brittle solids caused by indentation loading is investigated in a holistic manner using the phase field approach. While this methodology, at first glance, appears to be a promising tool for handling problems like the present one including crack initiation in absence of a pre-crack, its actual application reveals a number of critical issues. Inherent shortcomings of common phase field models for fracture based on a variational structure are illustrated and appropriate modifications are discussed which render the method --- at least to some extent --- suitable for the simulation of indentation fracture. Particular emphasis is placed on the significance of the material's tensile strength and fracture toughness as independent physical properties necessary for the quantitative description of crack formation. Numerical predictions are compared with results obtained by finite fracture mechanics as well as experimental findings from the literature.