Analytic Studies of Atomic Structures and the Efimov Effect

Diese Dissertation präsentiert Ergebnisse welche ich während meiner Promotion gefunden habe. Die Promotion wurde durchgeführt unter der Betreuung von Dirk Hundertmark und Semjon Vugalter sowie in Zusammenarbeit mit Nikolaos Pattakos. Die zentralen Beiträge sind in drei Hauptmanuskripte gegliedert:

1. "Die Überschussladung von Atomen"
2. "Weshalb es für ein System von drei Bosonen auf separierten Geraden keinen Efimov Effekt gibt"
3. "Das Zusammenspiel von Potentialmulden und Abwesenheit des Efimov Effekts in Dimension Vier"

Die Arbeit konzentriert sich auf die mathematische Analyse von Vielteilchen-Quantensystemen. ... mehrWir untersuchen diese Vielteichen-Quantensysteme mit Methoden der Mathematischen Physik, Funktionalanalysis, Spektraltheorie, partiellen Differentialgleichungen und Variationsrechnung. Ein zentrales Thema aller Ergebnisse ist die Untersuchung des Spektrums von Vielteilchen-Schrödinger-Operatoren. Insbesondere zeigen wir Bedingungen auf, unter denen diese Operatoren entweder überhaupt kein diskretes Spektrum aufweisen oder nur endlich viele gebundene Zustände besitzen.

Im Rahmen der Untersuchung atomarer Systeme leiten wir neue Schranken für die maximale Anzahl gebundener Elektronen $N_c(Z)$ eines Atoms mit Kernladungszahl $Z$ her. Das Hauptergebnis lautet:
\[
N_c(Z) < 1,1185Z + o\left(Z^{1/3}\right),
\]
was eine Verbesserung gegenüber bisher bekannten Schranken darstellt. Dieses Resultat hebt einen fundamentalen Unterschied zwischen fermionischen und bosonischen Atomen im Bereich endlicher Kernladungszahl $Z$ hervor: Während fermionische Atome obige Schranke erfüllen, zeigen bosonische Atome ein anderes Verhalten, bei dem
\[
\lim_{Z \to \infty} \frac{N_c(Z)}{Z} = t_c \approx 1,21
\]
gilt. Wir zeigen außerdem, dass dieser Grenzwert $t_c$ die Schranke
\[
t_c < 1,47
\]
erfüllt, was neue Schranken für die maximal zulässige Überschussladung im Hartree-Modell liefert.

Parallel dazu haben wir neue Aspekte des Efimov Effekts untersucht. Ein Projekt behandelt drei Bosonen, wobei jede auf eine eigene Gerade im dreidimensionalen Raum eingeschränkt ist. Eine aktuelle Vorhersage in der physikalischen Fachliteratur besagt, dass eine solche Konfiguration eine Art Efimov Effekt zeigen sollte. Wir beweisen jedoch, dass diese Vorhersage nicht korrekt ist, indem wir zeigen, dass das System höchstens endlich viele gebundene Zustände haben kann. Dieses Resultat ist bemerkenswert, da es sich um einen der seltenen Fälle handelt, in denen physikalische Vorhersagen einer rigorosen mathematischen Analyse nicht standhalten.

Ein weiteres Projekt untersucht das Zusammenspiel von Potentialmulden im vierdimensionalen Raum. Wir analysieren das Verhalten eines Quantenteilchens im Doppelmuldenpotential. Unsere Resultate verfeinern frühere Abschätzungen für die Grundzustandsenergie solcher Systeme und bieten einen variationellen Beweis, um ein unendliches diskretes Spektrum auszuschließen.

Neben diesen Resultaten enthält die Dissertation weitere Beiträge. Zum Problem der Überschussladung erweitern wir unsere Ergebnisse auf pseudorelativistische Modelle. Im Zusammenhang mit dem Efimov Effekt beweisen wir neue punktweise Abschätzungen für das Abfallverhalten von Nullenergie-Lösungen kritischer Schrödinger-Operatoren. Diese Abschätzungen, die in der Literatur vielfach angenommen wurden, werden hier erstmals unter minimalen Voraussetzungen rigoros hergeleitet.

This dissertation presents a collection of results from my doctoral research, carried out under the supervision of Dirk Hundertmark and Semjon Vugalter, and in collaboration with Nikolaos Pattakos. The core contributions are organized around three main manuscripts:

1. "On the Excess Charge Problem of Atoms"
2. "Why a System of Three Bosons on Separate Lines Can Not Exhibit the Confinement-Induced Efimov Effect"
3. "Conspiracy of Potential Wells and Absence of the Efimov Effect in Dimension Four"

The work focuses on the mathematical analysis of many-body quantum systems. ... mehrThe models considered are at the intersection of mathematical physics, functional analysis, spectral theory, partial differential equations, and the calculus of variations. A central theme across all results is the study of the spectrum of many-particle Schrödinger operators. In particular, we establish conditions under which these operators either lack a discrete spectrum entirely or have only finitely many bound states.

In the study of atomic systems, we derive new bounds on the maximum number of electrons \( N_c(Z) \) that an atom with nuclear charge \( Z \) can bind. The main result shows that
\[
N_c(Z) < 1.1185Z + o\left(Z^{1/3}\right),
\]
which improves upon previously known bounds. This finding highlights a fundamental distinction between fermionic and bosonic atoms in the finite $Z$ regime: while for fermionic atoms $N_c(Z)$ satisfies the above bound, bosonic atoms exhibit a different behavior, where \( \lim N_c(Z)/Z = t_c \approx 1.21 \). We also establish that this limit \( t_c \) satisfies \( t_c < 1.47 \) which directly proves new bounds on the maximal allowed excess charge in the Hartree model.

In parallel, we investigated new aspects of the Efimov effect. One project studies three bosons interacting via short-range forces, each confined to a different line in three-dimensional space. A recent prediction in the physics literature suggested that such a configuration exhibits the so–called confinement–induced
Efimov effect. However, we rigorously demonstrate that this prediction is incorrect by proving that the system can support at most finitely many bound states. This result is notable as it is one of the rare cases where predictions in the physics literature do not hold up to a rigorous mathematical analysis.

Another project investigates the interplay between potential wells in four-dimensional space. We examine how a quantum particle behaves when interacting with two separated short-range potentials and show that no Efimov-type effect occurs. Our results refine earlier estimates for the ground-state energy in such systems and provide a new variational approach to ruling out an infinite discrete spectrum.

In addition to these main topics, the dissertation includes further contributions. For the excess charge problem, we extend our results to pseudorelativistic models. Regarding the Efimov effect, we prove new pointwise decay estimates for zero-energy solutions of critical Schrödinger equations. These estimates, although widely assumed in the field, are rigorously established here for the first time under minimal assumptions.