Geometry and Contraction: A Riemannian Framework for Safe Robot Motion Learning

Die Erzeugung von Roboterbewegungen bleibt eine wesentliche Herausforderung, insbesondere in unstrukturierten und dynamischen Umgebungen, in denen die Gewährleistung von Sicherheit und Anpassungsfähigkeit für eine robuste Leistung unerlässlich ist.
In dieser Dissertation führen wir ein geometrisches Framework für die Bewegungserzeugung ein, das kinematische und dynamische Aspekte systematisch als voneinander unterscheidbare, aber miteinander verknüpfte Komponenten betrachtet. Obwohl die Untersuchung der Bewegungskinematik und -dynamik bereits umfassend untersucht wurde, zeichnet sich unser Ansatz dadurch aus, dass beide basierend auf der Geometrie von Riemannschen Mannigfaltigkeiten formuliert werden. ... mehrDiese Perspektive ermöglicht eine intrinsischere Darstellung von Bewegung, indem sie die geometrischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Datenmannigfaltigkeit nutzt, um Konsistenz und Anpassungsfähigkeit in dynamischen Umgebungen sicherzustellen.

Auf kinematischer Ebene führen wir das Konzept der geodätischen Bewegungsfertigkeiten ein. Menschliche Demonstrationen werden als glatte Trajektorien auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit modelliert, wobei die intrinsische Geometrie optimale Pfade definiert. Durch den Einsatz eines variational Autoencoders zum Erlernen einer latenten Darstellung dieser Bewegungsmannigfaltigkeiten synthetisiert unser Ansatz vollständige Endeffektortrajektorien durch die Berechnung intrinsischer kürzester Wege den sogenannten Geodäten. Darüber hinaus unterstützt das Verfahren von Natur aus Echtzeithindernisvermeidung durch dynamische Modulation der zugrunde liegenden Metrik. Dieses Framework wird ferner auf den Gelenkraum des Roboters erweitert, wodurch Ganzkörperhindernisvermeidung ermöglicht wird und Aufgaben mit mehreren Lösungen berücksichtigt werden.

Auf dynamischer Ebene schlagen wir Neural Contractive Dynamical Systems (NCDS) vor, die Prinzipien der Kontraktionstheorie in neuronale Netzwerkarchitekturen integrieren. Dabei werden Systemdynamiken als zeitinvariante Vektorfelder modelliert, deren Stabilität durch inhärente kontraktive Eigenschaften sichergestellt wird. Eine injektive Variante des variational Autoencoders wird eingesetzt, um hochdimensionale Demonstrationsdaten zu verarbeiten, wobei die Stabilitätsgarantien erhalten bleiben. Durch die Erweiterung des Ansatzes um die mathematische Struktur von Lie-Gruppen erfasst unsere Methode komplexe Orientierungsdynamiken präzise und vergrößert somit ihren Anwendungsbereich. Zusätzlich ermöglicht die Integration von Riemannschen impliziten Distanzfunktionen eine adaptive Modulation der Dynamik, wodurch die erlernte Riemannsche Geometrie effektiv mit Hindernisvermeidungsstrategien kombiniert wird, um Sicherheit in der Nähe von Hindernissen und in Unsicherheitsbereichen zu gewährleisten.

Zusammenfassend demonstriert diese Arbeit, dass geometrische Prinzipien ein grundlegendes Framework für die Weiterentwicklung des Roboterlernens darstellen. Durch die rigorose Anwendung von Konzepten der Differentialgeometrie hat diese Forschung die zugrunde liegende Struktur menschlicher Bewegung offengelegt und einen systematischen Ansatz zur Kodierung komplexer Bewegungsmuster präsentiert. Dieser Ansatz ermöglicht die Vereinheitlichung unterschiedlicher Lernmethoden in einem kohärenten Framework, das die Feinheiten der Bewegung effektiver erfasst. Die gewonnenen Erkenntnisse unterstreichen die entscheidende Rolle der Geometrie für ein besseres Verständnis robotischen Verhaltens.

Robot motion generation remains a critical challenge, particularly in unstructured and dynamic environments where ensuring safety and adaptability is essential for robust performance. In this thesis, we introduce a geometric framework for motion generation that systematically addresses kinematic and dynamical aspects as distinct yet interrelated components. While the study of motion kinematics and dynamics has been extensively investigated, our approach is distinguished by formulating both within the geometry of Riemannian manifolds. This perspective enables a more intrinsic representation of motion, leveraging the geometric properties of the underlying data manifold to ensure consistency and adaptability in dynamic environments.
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At the kinematic level, we introduce the concept of geodesic motion skills. Human demonstrations are modeled as smooth trajectories on a Riemannian manifold, where the intrinsic geometry defines optimal paths. By employing a variational autoencoder to learn a latent representation of these motion manifolds, our approach synthesizes full-pose end-effector trajectories through the computation of intrinsic shortest paths namely geodesics. Moreover, by dynamically modulating the underlying metric, the method inherently supports real-time obstacle avoidance. This framework is further extended to the robot’s joint space, facilitating multiple-limb obstacle avoidance and accommodating multiple-solution tasks.

At the dynamical level, we propose neural contractive dynamical systems (NCDS), which integrate principles from contraction theory into neural network architectures. In this formulation, system dynamics are modeled as time-invariant vector fields whose stability is ensured through inherent contraction properties. An injective variant of the variational autoencoder is utilized to handle high-dimensional demonstration data while preserving these stability guarantees. By extending the approach to incorporate the mathematical structure of Lie groups, our method accurately captures complex orientation dynamics, further enhancing its applicability. Additionally, the integration of Riemannian implicit distance functions allows for adaptive modulation of the dynamics, effectively blending the learned Riemannian geometry with obstacle avoidance strategies to ensure safety around obstacles and regions of uncertainty.

In conclusion, this work demonstrates that geometric principles serve as a fundamental framework for advancing robot learning. By rigorously applying concepts from differential geometry, this research has revealed the inherent structure underlying human motion and has provided a systematic method for encoding complex movement patterns. This approach has enabled the unification of diverse learning methodologies into a coherent framework that more effectively captures the subtleties of motion. The insights gained highlight the critical role of geometry in deepening our understanding of robot behavior.