Computational Methods for Multi-Loop Scattering Amplitudes with many Kinematic Scales

In den letzten Jahrzehnten, insbesondere seit der Entdeckung des Higgs-Bosons in
2012, ist die Notwendigkeit von präzisen Vorhersagen des Standardmodells für Ex-
perimente an Hochenergie-Teilchenbeschleunigern stetig gestiegen, da sich die exper-
imentelle Genauigkeit, mit der Produktionsraten und Teilcheneigenschaften gemessen
werden, erheblich verbessert hat. Um möglichst viele Informationen aus diesen Mes-
sungen zu gewinnen, muss die Präzision der theoretischen Vorhersagen auf einem ver-
gleichbaren Niveau liegen. Eine dominante Quelle von Unsicherheiten sind fehlende
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Terme höherer Ordnung in der perturbativen Entwicklung von Streuamplituden. In
dieser Dissertation werden zwei neuartige Techniken zur Berechnung von Mehrschleifen-
Streuamplituden vorgestellt. Der Schwerpunkt liegt auf numerischen Methoden für
Prozesse mit vielen kinematischen Skalen. Die erste Methode ist ein neues Verfahren
zur Auflösung kinematischer Singularitäten von Feynmanintegralen durch deren Zer-
legung in eine Summe von Integralen über explizit positive Integranden. Solcherart
aufgelöste Integrale können im physikalischen Bereich ohne Konturdeformation aus-
gewertet werden, was die numerische Berechnung um bis zu mehrere Größenordnungen
beschleunigt. Die zweite Methode beschäftigt sich mit dem Aufbau von Interpolation-
sgittern für Streuamplituden. Es wird gezeigt, wie der Einsatz von Deep-Learning-
Techniken präzise Approximationen von mehrdimensionalen Amplituden ermöglicht.
Eine Strategie zur Abschätzung der Fehlerfortpflanzung von Gitterunsicherheiten auf
physikalische Observablen wird beschrieben. Abschließend wird die Entwicklung der
Programme pySecDec und ftint für die numerische Auswertung von Mehrschleifen-
integralen vorgestellt.

Over the last few decades, in particular since the discovery of the Higgs boson in 2012,
there has been a growing demand for accurate Standard Model predictions of high-
energy scattering processes taking place at particle colliders. Experiments have dra-
matically improved the precision with which production rates and particle properties
are being measured. In order to extract as much information from these measurements
as possible, the precision of theoretical predictions must be brought to the same stan-
dard. A dominant source of theoretical uncertainty is due to missing higher-order terms
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in the perturbative expansion of scattering amplitudes. This thesis addresses this prob-
lem by introducing two novel techniques for the computation of multi-loop scattering
amplitudes, with a focus on numerical methods for processes that involve many kine-
matic scales. The first method is a new procedure for resolving integrable singularities
of Feynman loop integrals, by decomposing them into a sum of integrals over mani-
festly positive integrands, multiplied by complex prefactors. The resolved integrals can
be integrated in the physical region without contour deformation, which accelerates
numerical evaluation by up to several orders of magnitude. The second method is a
framework for constructing interpolation grids for scattering amplitudes. It is demon-
strated how the usage of deep-learning techniques enables accurate approximations for
multidimensional amplitudes. A strategy for estimating how grid uncertainties propa-
gate to physical observables is described. Finally, the development of the pySecDec
and ftint programs for the numerical evaluation of multi-loop integrals is presented.