Entwurf nichtlinearer Beobachter mittels Normalformen

Bereits Mitte der sechziger Jahre wurde von dem amerikanischen Regelungstechniker D. G. Luenberger gezeigt, dass sich der Beobachterentwurf für lineare, zeitinvariante Systeme in besonders eleganter Weise durchführen lässt, wenn das zu beobachtende System zuvor auf Beobachternormalform gebracht wurde. Der in dieser Arbeit vorgestellte Beobachterentwurf stellt eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf den nichtlinearen und zeitvarianten Fall dar. Das beschriebene Verfahren ist zwar auf eine begrenzte Systemklasse beschränkt, hat jedoch gegenüber bisherigen Vorschlägen den Vorzug, ohne jegliche Linearisierung (im Sinne der Approximation eines nichtlinearen Sachverhalts durch einen linearen) auszukommen. Dadurch ermöglicht es eine allgemeingültige Aussage über das Gebiet des Zustandsraums, in dem der geschätzte Zustandsvektor gegen den tatsächlichen konvergiert, in dem also der Beobachter stabil arbeitet. Die Entwurfsgrundlage bildet die Berechnung einer Transformation des zu beobachtenden Systems in eine geeignet definierte „Nichtlineare Beobachternormalform". Für das auf „Nichtlineare Beobachternormalform" transformierte System lässt sich dann in naheliegender Weise ein Beobachter angeben, welcher Schätzwerte für die transformierten Zustandsvariablen liefert. ... mehrDie resultierende Fehlerdifferentialgleichung ist hierbei homogen, linear und zeitinvariant, so dass dem Fehler mittels Polvorgabe ein stabiles Zeitverhalten aufgeprägt werden kann. Die Schätzwerte für die Originalzustandsgrößen erhält man schließlich mit Hilfe der inversen Transformation durch Umrechnen des für das transformierte System entworfenen Beobachters in Originalkoordinaten. Statt auf direktem Wege kann die Bestimmung der Transformation auf „Nichtlineare Beobachternormalform" auch in zwei Schritten erfolgen, nämlich über den Zwischenschritt einer „Nichtlinearen Beobachtbarkeitsnormalform". Dieser „Umweg" ist insofern gerechtfertigt, als die Existenz der Beobachtbarkeitsnormalform eine notwendige Voraussetzung für die Existenz der geforderten Beobachternormalform und damit des Beobachters darstellt. Falls die „Nichtlineare Beobachtbarkeitsnormalform" spezielle weitergehende Bedingungen erfüllt, lässt sich aus ihr die für den Beobachterentwurf erforderliche „Nichtlineare Beobachternormalform" und die dazu notwendige Transformation berechnen. Im Allgemeinen ergeben sich die zu bestimmenden Parameter der „Nichtlinearen Beobachternormalform“ zunächst in Abhängigkeit von zeitlichen Ableitungen der Eingangsgröße. Es muss dann durch geeignete Wahl der auftretenden Integrationsparameter versucht werden, diese Ableitungen zu eliminieren. Gelingt dies nicht, so kann zwar die „Nichtlineare Beobachternormalform" nicht existieren, dafür jedoch eine „Verallgemeinerte Beobachternormalform". Ein mit Hilfe dieser Form entworfener Beobachter unterscheidet sich von den herkömmlichen Beobachtern dadurch, dass ihm neben der Ein- und Ausgangsgröße des zu beobachtenden Systems zusätzlich noch zeitliche Ableitungen der Eingangsgröße zugeführt werden müssen. Die Leistungsfähigkeit dieser neuen Beobachterentwurfsmethode wird an drei Beispielen aus der Technik und der Ökologie unter Beweis gestellt. Sie verdeutlichen, dass die geschätzten Zustandsvariablen selbst bei größeren Anfangsfehlern mit wachsender Zeit gegen die wahren Zustandsvariablen konvergieren, was bei Vorschlägen, die auf einer Linearisierung beruhen, nicht unbedingt der Fall zu sein braucht.