Space and Time Adaptivity for the Landau–Lifshitz–Gilbert Equation

Die Landau–Lifshitz–Gilbert Gleichung (LLG) dient als grundlegendes Modell zur Beschreibung der Magnetisierungsdynamik in ferromagnetischen Materialien.
Aufgrund ihrer stark nichtlinearen Struktur, die unter anderem eine nicht-konvexe Nebenbedingung zur Erhaltung der Magnetisierungslänge in jedem Punkt in Raum und Zeit umfasst, stellt sie hohe Herausforderungen an die numerische Analysis.
Insbesondere kleine Dämpfungskonstanten erschweren die mathematische Stabilitätsuntersuchung und die effiziente numerische Simulation beträchtlich.
Da in der Praxis zudem stark lokalisierte Phänomene wie Domänenwände (engl. ... mehrdomain walls) im Raum oder schnelle Schaltvorgänge in der Zeit auftreten, liegt der Einsatz von adaptiven Verfahren nahe, um diese lokalen Strukturen effizient aufzulösen.

In dieser Arbeit untersuchen wir ein Tangentialraumverfahren (engl. tangent plane scheme) zur Lösung der LLG Gleichung, welches die intrinsische Normierung der Magnetisierung in einem schwachen Sinne berücksichtigt.
Wir verwenden dabei Finite Elemente zur räumlichen Diskretisierung und nutzen linear-implizite Formeln zur Rückwärtsdifferenzierung (engl. backward differentiation formulas (BDF)) zur Zeitintegration.
Während die Konvergenz dieses Verfahrens für höhere Ordnungen bereits bekannt ist, liegt der Schwerpunkt dieser Thesis auf der Untersuchung und Herleitung von berechenbaren a posteriori Fehlerschranken.
Durch die Kombination einer elliptischen Rekonstruktion im Raum mit einer Drei-Punkt-Rekonstruktion in der Zeit leiten wir rigoros eine residualbasierte Fehlerschranke für das BDF Verfahren zweiter Ordnung her.
Diese Schranke dient als Grundlage für eine zuverlässige Fehlerschätzung sowie für die adaptive Steuerung des räumlichen Gitters und der zeitlichen Schrittweiten.

Ein weiterer Fokus liegt auf der Stabilitätsanalyse im Sinne einer diskreten Energieungleichung für das volldiskrete Verfahren.
Wir untersuchen dabei insbesondere variable Zeitschritt-weiten sowie die Abhängigkeit von der Dämpfungskonstante und leiten einen expliziten Zusammenhang zwischen den Nullstellen der BDF-Polynome und der G-Stabilität her.
Dieser Zusammenhang ist entscheidend für den Nachweis der diskreten Energieungleichung.
Unter Verwendung diskreter orthogonaler Faltungskerne (engl. discrete orthogonal convolution kernels) zu den BDF Koeffizienten erweitern wir die diskrete Energieungleichung zudem zu einer $\mathcal{L}^2$-Schranke für die diskrete Lösung.

Aufbauend auf den theoretischen Ergebnissen konstruieren wir einen Algorithmus zur Zeitintegration mit variablen Zeitschrittweiten und variablen Ordnungen (VSVO), den wir mit einem residualbasierten Fehlerschätzer zur räumlichen Vergröberung und Verfeinerung kombinieren.
Anhand verschiedener numerischer Beispiele demonstrieren wir abschließend die Effektivität des raum- und zeitadaptiven Gesamtverfahrens.

The Landau–Lifshitz–Gilbert (LLG) equation serves as the fundamental model to describe magnetization dynamics in ferromagnetic materials.
Due to its highly nonlinear structure, which includes a non-convex constraint preserving the magnetization length at every point in space and time, the equation poses significant challenges for the numerical analysis.
In particular, small damping constants complicate the mathematical stability analysis and the efficient numerical simulation considerably.
Since highly localized phenomena, such as domain walls in space or rapid switching events in time, occur in practice, the use of adaptive methods
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is well-suited to resolve these local structures.

In this work, we investigate a tangent plane scheme for solving the LLG equation that enforces the intrinsic normalization of the magnetization in a weak sense.
We employ finite elements for spatial discretization and utilize linearly implicit backward differentiation formulas (BDF) for time integration.
While the higher-order convergence of this method is already established, the focus of this thesis lies on the investigation and derivation of computable a posteriori error bounds.
By combining the elliptic reconstruction in space and the three-point reconstruction in time, we rigorously derive a residual-based a posteriori error bound for the second order BDF scheme.
This bound serves as the foundation for reliable error estimation as well as the adaptive control of the spatial grid and temporal time-step sizes.

Another focus lies on the stability analysis in the sense of a discrete energy inequality for the fully discrete scheme.
We specifically investigate variable time-step sizes as well as the dependence of the discrete energy inequality on the damping constant and derive an explicit connection between the roots of the BDF polynomials and G-stability.
This relation is crucial for proving the discrete energy inequality.
By utilizing discrete orthogonal convolution kernels corresponding to the BDF coefficients, we further extend the discrete energy inequality
to an $\mathcal{L}^2$-bound for the discrete solution.

Building upon these theoretical results, we construct a time integration algorithm with variable time-step sizes and variable orders (VSVO), which is combined with a residual-based error estimator for spatial coarsening and refinement.
Finally, we demonstrate the effectiveness of the space and time adaptive algorithm through a variety of numerical examples.