Direkte numerische Simulation der Konvektion in einer Fluidschicht mit interner Wärmequelle

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Naturkonvektion in einer horizontalen Fluidschicht mit homogen verteilter volumetrischer Wärmequelle. Die obere und untere Wand sind isotherm und auf gleicher Temperatur. Die Untersuchungen erfolgen mit der Methode der direkten numerischen Simulation, wobei in den beiden horizontalen Richtungen periodische Randbedingungen verwendet werden. Für ein Fluid mit Prandtl-Zahl Pr=7 werden Rechnungen für die internen Rayleigh-Zahlen Ra=105, Ra=5·105, Ra=106, Ra=5·106, Ra=107, Ra=108 und Ra=109 vorgestellt. Die Ergebnisse sind, bis auf den Wärmeübergang an der unteren Wand in der Simulation mit Ra=109, in sehr guter Übereinstimmung mit experimentellen Daten.
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Für alle untersuchten Rayleigh-Zahlen sind die Konvektionsmuster dreidimensional und instationär. Die phänomenologische Analyse der Konvektion zeigt bei Ra=105 einzelne kalte Abwindfahnen an der oberen Wand. Bei Ra=106 finden sich am Rande der Grenzschicht der oberen Wand Speichenstrukturen mit Abwärtsbewegung. Bei Ra=107 formen benachbarte Speichenstrukturen ein geschlossenes Netzwerk von unregelmäßigen Zellen. Unterhalb der Kreuzungspunkte von Speichen bilden sich tropfenförmige Ablösungen. Im Inneren der Zellen herrscht langsame Aufwärtsbewegung, wobei die höchsten Geschwindigkeiten neben den Ablösungen auftreten. Mit Steigerung der Rayleigh-Zahl auf Ra=108 und Ra=109 werden die Zellen unregelmäßiger und ihre charakteristische Länge nimmt ab.
Basierend auf den Simulationsergebnissen für Ra=108 wird die Transportgleichung für die kinetische Turbulenzenergie k analysiert, die in statistischen Turbulenzmodellen gelöst wird. Es zeigt sich, daß Produktions- und Dissipationsterm nicht in lokalem Gleichgewicht sind. Der Diffusionsterm spielt eine wichtige Rolle, da er den Überschuß an Produktion von Turbulenzenergie aus dem Zentralbereich des Kanals hin zu den Wänden umverteilt, wo die Energie dissipiert wird. Die Analyse des in einfachen Turbulenzmodellen verwendeten Konzeptes einer vorgegebenen turbulenten Prandtl-Zahl zeigt, daß dieser Schließungsansatz für die turbulenten Wärmeflüsse nicht in der Lage ist, die Konvektion in Fluidschichten mit interner Wärmequelle adäquat zu beschreiben. Eine entsprechende Schlußfolgerung ergibt sich für das Standardmodell für den turbulenten diffusiven Transport von k, das auf einer Prandtl-Zahl k für die kinetische Turbulenzenergie basiert.

Direct Numerical Simulation of the convection in an horizontal fluid layer with internal heat generation
Results of direct numerical simulations (DNS) of the convection in an internally heated horizontal fluid layer are presented. The boundary conditions used are periodic in both horizontal directions while the top and bottom walls are isothermal and of equal temperature. Results are given for fluid Prandtl number Pr = 7 and Rayleigh numbers Ra=105, Ra=5·105, Ra=106, Ra=5·106, Ra=107, Ra=108, and Ra=109\. Besides the simulation with Ra=109, where the heat transfer at the lower wall is somewhat too high, the computational results compare very well with experimental findings.
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For all Rayleigh numbers considered, the flow patterns are three-dimensional and time-dependent. The dominant flow structures at Ra=105 are single cold drop-like plumes which release from the upper wall. In the simulation with Ra=106 at the edge of the boundary layer of the top wall spoke patterns with downward motion are identified. At Ra=107 neighbouring spokes form a closed net of irregular cells. At locations where different spokes are connected to knots, drop-like downward falling cold plumes exist. In the inner region of the cells slow upward motion is found, whereas the highest velocities occur in the vicinity of the downward falling plumes. With further increase of the Rayleigh number to Ra=108 and Ra=109 the cells become more irregular and their typical length scale decreases.
The simulation results for Ra=108 are used to analyse the transport equation of turbulent kinetic energy k, which represents the basis of most of the commonly used statistical turbulence models. The results show that production and dissipation of k are not in local equilibrium. Instead, diffusive transport of k is very important in redistributing the surplus of production of k from the centre of the layer towards the walls, where it is dissipated. The analysis of the concept of a prescribed constant turbulent Prandtl number used in simple turbulence models reveals that this approach is not capable to adequately describe the turbulent heat transfer in a convective layer driven by internal heat generation. A similar conclusion holds for the standard model for the turbulent diffusive transport of k by a Prandtl number of turbulent kinetic energy k.