Theorie und Numerik spektraler stochastischer Finite-Elemente-Formulierungen bei geometrisch nichtlinearem Deformationsverhalten

Die vorliegende Arbeit widmet sich der spektralen stochastischen Finite-Elemente-Methode (SSFEM) im Kontext geometrisch nichtlinearer Problemstellungen. Im Fokus stehen spektrale stochastische FE-Formulierungen verschiedener Strukturelemente sowie die Weiterentwicklung geeigneter Pfadverfolgungsalgorithmen.

Die SSFEM verbindet die polynomielle Chaosentwicklung (PCE) mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) und stellt eine Erweiterung der herkömmlichen FEM dar. Ausgangspunkt für die Entwicklung stochastischer FE-Formulierungen ist eine erweiterte Variationsformulierung. Diese wird im stochastischen Raum mittels PCE und in der räumlichen Dimension mittels FEM diskretisiert.
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Anhand von drei Strukturelementen werden unterschiedliche Aspekte der SSFEM im Kontext geometrischer Nichtlinearität beleuchtet. Die stochastische Schalenformulierung basiert auf einem isoparametrischen 4-Knoten-Element mit bilinearen Ansatzfunktionen. Zur Vermeidung von Querschubversteifungen wird die Assumed-Natural-Strain-Methode konsistent in die erweiterte FE-Formulierung integriert. Ausgehend von einem Zweifeldfunktional wird eine gemischt-hybride Scheibenformulierung vorgestellt. Dabei werden für die stochastischen Verschiebungen und die stochastischen Spannungen jeweils unabhängige Ansätze gewählt.
Abschließend wird die Thematik endlicher Rotationen im Rahmen der SSFEM anhand eines geometrisch exakten Stabelements behandelt. Die einheitliche und kompakte Notation der entwickelten Strukturelemente folgt jenen herkömmlicher FE-Formulierungen. Mit der konsistenten Linearisierung aller Zusammenhänge wird eine quadratische Konvergenz im Rahmen des Newton-Verfahrens erzielt.

Für die Berechnung nichtlinearer Gleichgewichtspfade werden inkrementell-iterative Lösungsalgorithmen verwendet. Ergänzend zu bereits bestehenden Verfahren wird in der vorliegenden Arbeit eine verallgemeinerte Verschiebungssteuerung im Rahmen der SSFEM weiterentwickelt. Dieser Algorithmus erlaubt es, Problemstellungen zu berechnen, die mit bestehenden Verfahren im Kontext der SSFEM bisher nicht untersucht werden können.

Im Rahmen stochastischer Analysen wird der Einfluss unscharfer Material- und Geometrieeigenschaften auf das mechanische Verhalten von Tragstrukturen untersucht. Für die numerischen Berechnungen werden die spektralen stochastischen FE-Formulierungen sowie die entwickelten Lösungsalgorithmen verwendet. Im Fokus stehen Problemstellungen mit großen Verformungen, bei denen eine geometrisch nichtlineare Formulierung zwingend erforderlich ist. Die Ergebnisse der numerischen Beispiele zeigen eine sehr gute Übereinstimmung zwischen der SSFEM und der Monte-Carlo-Simulation (MCS).

This work is dedicated to the spectral stochastic finite element method (SSFEM) in the context of geometrically nonlinear problems. The focus is on spectral stochastic FE formulations for various structural elements, as well as on the further development of suitable path-following algorithms.

The SSFEM combines the polynomial chaos expansion (PCE) with the finite element method (FEM) and represents an extension of the conventional FEM. The development of stochastic FE formulations is based on an extended variational formulation, which is discretized in the stochastic dimension by means of the PCE and in the spatial dimension using the FEM.
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Three structural elements are used to highlight different aspects of the SSFEM in the context of geometric nonlinearity. The stochastic shell formulation is based on an isoparametric 4-node element with bilinear ansatz functions. To avoid shear locking, the assumed natural strain method is consistently integrated into the extended FE formulation. Based on a two-field functional, a mixed-hybrid membrane element is presented. The stochastic displacements and stochastic stresses are approximated using independent ansatz functions.
Finally, the issue of finite rotations in the context of the SSFEM is addressed using a geometrically exact beam element. The unified and compact notation of the developed structural elements follows those of conventional FE formulations. By consistently linearizing all governing equations, quadratic convergence is obtained within the Newton iteration scheme.

Incremental-iterative solution algorithms are employed to trace nonlinear equilibrium paths. In addition to existing methods, a generalized displacement control in the context of the SSFEM is further developed in this work. This algorithm facilitates the calculation of problems that have not been investigated with existing methods in the context of the SSFEM.

Stochastic analyses are used to investigate the influence of uncertain material and geometric properties on the mechanical behavior of structures. The spectral stochastic FE formulations and the developed solution algorithms are used for the numerical calculations. The focus is on problems with large deformations where a geometrically nonlinear formulation is mandatory. The results of the numerical examples show a very good agreement between the SSFEM and the Monte Carlo simulation (MCS).