Structure-preserving simulation of highly flexible slender structures via port-Hamiltonian systems

Hochflexible und schlanke mechanische Strukturen treten in zahlreichen technischen Anwendungen sowie in der Natur auf. Ihre akkurate und zugleich effiziente Simulation stellt jedoch nach wie vor eine erhebliche Herausforderung dar. Geometrische Nichtlinearitäten und komplexes Materialverhalten können dazu führen, dass konventionelle numerische Verfahren grundlegende physikalische Prinzipien, wie die Erhaltung der Gesamtenergie, verletzen. Insbesondere bei Langzeitsimulationen kann dies numerische Instabilitäten und eine verminderte Genauigkeit zur Folge haben. Vor diesem Hintergrund basiert die vorliegende Arbeit auf port-Hamiltonschen (pH) Systemen. ... mehrDeren vereinheitlichende Struktur dient als Grundlage für die Entwicklung neuartiger, energetisch konsistenter Modellierungs- und Simulationsansätze.

Zunächst werden grundlegende Eigenschaften von pH Systemen erläutert und ein allgemeines pH Modell vorgestellt, das nichtlineare partielle differential-algebraische Gleichungen erfasst. Darauf aufbauend werden neue Formulierungen für geometrisch exakte Balken und Seile entwickelt. Die Modelle verwenden unabhängige Dehnungs- und/oder Spannungsgrößen, die über Kompatibilitätsbedingungen in zeitlich differenzierter Form mit der Kinematik verknüpft sind. Hieraus ergeben sich gemischte Formulierungen, die numerische Probleme wie das transversale Schublocking auf natürliche Weise vermeiden. Des Weiteren lassen sich hyperelastisches und viskoelastisches Materialverhalten, Aktuierungsmechanismen der Soft Robotics sowie kinematische Nebenbedingungen unmittelbar berücksichtigen.

In diesem pH Framework wird anschließend die strukturerhaltende Diskretisierung in Raum und Zeit behandelt. Hierzu wird eine gemischte Bubnov–Galerkin Finite-Elemente-Raumdiskretisierung auf Basis von Lagrange-Polynomen vorgeschlagen, die zu endlichdimensionalen pH Systemen führt. Die resultierenden semidiskreten Modelle, welche im Allgemeinen durch differential-algebraische Gleichungen beschrieben werden, sind objektiv und bewahren die zugrundeliegende Energiebilanz. Für die Zeitintegration von Systemen mit quadratischer Hamilton-Funktion gewährleistet bereits die implizite Mittelpunktregel exakte zeitdiskrete Energie- und Impulsbilanzgleichungen. Bei Systemen mit allgemeineren Hamilton-Funktionen kommen neu gewonnene Diskrete-Gradienten-Verfahren zum Einsatz, die dieselben Eigenschaften besitzen.

Insgesamt führt der pH Formalismus zu einer neuen Perspektive auf dynamische Problemstellungen in der Mechanik und die damit verbundenen numerischen Herausforderungen. Die Entwicklung strukturerhaltender räumlicher und zeitlicher Diskretisierungsmethoden erfolgt dabei konsequent unter Berücksichtigung der zugrundeliegenden Energiebilanz. Die durchgängige Bewahrung der pH Struktur im Diskretisierungsprozess gewährleistet energetische Konsistenz und erhöhte Robustheit. Dadurch eignen sich die vorgeschlagenen Methoden insbesondere für Langzeitsimulationen sowie für zukünftige Anwendungen im Regelungsentwurf.

Highly flexible slender structures occur in many engineering applications and in nature. However, the accurate and efficient simulation of their dynamics remains a challenging task. Due to geometric nonlinearities and complex material behavior, conventional numerical methods may violate fundamental physical principles, such as the conservation of total energy. This can lead to numerical instabilities and reduced accuracy in long-term simulations. To address this issue, this thesis employs the port-Hamiltonian (pH) framework and exploits its unifying structure to develop novel modeling and discretization approaches with guaranteed energetic consistency.
... mehr

First, the fundamental properties of pH systems are discussed, and a general framework capable of representing nonlinear partial differential-algebraic equations is established. Within this unified setting, novel formulations for the dynamics of geometrically exact beams and strings are derived. These formulations rely on independent strain and/or stress variables that are linked to the kinematics via compatibility equations in time-differentiated form. This results in mixed descriptions that naturally prevent numerical problems such as transverse shear locking. The same framework accommodates hyperelastic and viscoelastic material behavior, actuation mechanisms relevant in soft robotics, as well as kinematic constraints.

Second, structure-preserving discretization strategies in space and time are addressed within the pH setting. A mixed Bubnov–Galerkin finite element discretization in space based on standard Lagrange polynomials yields finite-dimensional systems that retain the pH structure. The resulting semi-discrete models, most generally governed by differential-algebraic equations, are objective and preserve the underlying power balance. Concerning time integration, the structural properties of the Hamiltonian — the total energy function — determine the suitable approach. In the case of quadratic Hamiltonians, the implicit midpoint rule is sufficient to ensure exact satisfaction of discrete-time power and momentum balance equations. For general Hamiltonians, newly developed discrete gradient methods provide the same properties.

Overall, the pH formalism provides a new perspective on the dynamics of mechanical systems and related numerical challenges that have been studied for decades. In a unified pH framework, the design of structure-preserving spatial and temporal discretization methods is systematically guided by the underlying power balance. Preserving the pH structure throughout the discretization procedure leads to energetic consistency and improved robustness, making the proposed methods well suited for long-term simulations and future use in advanced control design.