On a Nonlinear Helmholtz System = Über ein nichtlineares Helmholtz-System

In dieser Arbeit wurden Methoden zur Lösung gekoppelter Systeme von nichtlinearen Helmholtzgleichungen entwickelt und angewandt. Ein typisches Beispiel für ein solches System ist
$$
\begin{cases}
- \Delta u - \mu u = u (u^2 + b \: v^2) & \text{auf } \mathbb{R}^3,
\\
- \Delta v - \nu v = v (v^2 + b \: u^2) & \text{auf } \mathbb{R}^3
\end{cases}
\qquad \qquad \text{(H)}
$$
wobei $\mu, \nu > 0$ positive Konstanten sind und $b \in \mathbb{R}$ die Kopplung modelliert. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen behandeln die folgenden Kapitel (i) die Existenz reellwertiger, lokalisierter Lösungen $u, v: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ mit $u(x), v(x) \to 0$ für $|x| \to \infty$ von Systemen des Typs (H); sie enthalten (ii) Kriterien, ob diese Lösungen vollständig nichttrivial sind, d.h. ... mehrob $u \neq 0$ und zugleich $v \neq 0$ gelten (oder ob dies nicht der Fall ist).

in Kapitel 2 wird ein variationeller Ansatz eingeführt, der (i) und (ii) für nichtlineare Helmholtzsysteme ähnlich (H), jedoch für Raumdimensionen $N \geq 2$, mit einer Nichtlinearität der Potenz $p \in \left(\frac{2(N+1)}{N-1}, \frac{2N}{N-2} \right)$ und unter der Einschränkung $0 \leq b \leq p-1$ zumindest in Teilen beantwortet. Kapitel 3 enthält ein Existenzresultat für vollständig nichttriviale, radialsymmetrische Lösungen von (H), das auf Verzweigungsmethoden basiert und mit einer eingehenden Analyse des Fernfeldverhaltens von Lösungen, d.h. der Form von $|x| u(x)$ bzw. $|x| v(x)$ im Limes $|x| \to \infty$, einhergeht.
Als weitere Anwendung der in Kapitel 3 entwickelten Techniken werden schließlich in Kapitel 4 zeitperiodische Lösungen der wellen-artigen Gleichungen
$$
\partial_t^2 U - \Delta U \mp U = U^3
\quad \text{auf } \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3
$$
konstruiert. Dies zeigt exemplarisch auf, wie Resultate für das Zweikomponentensystem (H) auf ein unendliches System übertragen werden können.

This thesis aims at developing and applying methods to solve coupled systems of nonlinear Helmholtz equations. A prototypical example of such a system might be
$$
\begin{cases}
- \Delta u - \mu u = u (u^2 + b \: v^2) & \text{on } \mathbb{R}^3,
\\
- \Delta v - \nu v = v (v^2 + b \: u^2) & \text{on } \mathbb{R}^3
\end{cases}
\qquad \qquad \text{(H)}
$$
where $\mu, \nu > 0$ are positive constants and $b \in \mathbb{R}$ denotes the coupling. Under suitable additional assumptions, the results presented in the following chapters are concerned with (i) the existence of real-valued solutions $u, v: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ of systems as (H) which are localized in the sense that $u(x), v(x) \to 0$ as $|x| \to \infty$, and (ii) the formulation of criteria whether or not these solutions are fully nontrivial, that is, whether or not they satisfy $u \neq 0$ and $v \neq 0$. ... mehr

In Chapter 2, a variational ansatz will be introduced which, at least partially, answers the questions (i) and (ii) for a nonlinear Helmholtz system similar to (H) but in space dimension $N \geq 2$, with a nonlinearity of the power $p \in \left(\frac{2(N+1)}{N-1}, \frac{2N}{N-2} \right)$ and under the restriction $0 \leq b \leq p-1$. Chapter 3 provides an existence result for fully nontrivial and radially symmetric solutions of the cubic system (H) based on bifurcation theory and a thorough analysis of the far field of the solutions, that is, of the form of $|x| u(x)$ resp. $|x| v(x)$ in the limit $|x| \to \infty$.
As a further application of the techniques developed in Chapter 3, time-periodic solutions of the wave-type equations
$$
\partial_t^2 U - \Delta U \mp U = U^3
\quad \text{on } \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3
$$
will be constructed in the final Chapter 4. In particular, the analysis in this chapter involves the bifurcation methods developed in the previous one and thus provides an exemplary demonstration of the transfer of results for the two-component Helmholtz system (H) to an infinite one.